Seja T: R^3 -> R^3 uma transformação linear dada por
y = sen(x^2)
determine para que valores de y = sen(x^2) a transformação linear não é sobrejetiva.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . A pergunta é: para quais valores de essa transformação não é sobrejetiva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, principalmente determinantes e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão é sobrejetiva se e somente se ela for injetiva, o que acontece quando a matriz associada à transformação tem determinante diferente de zero. Então, se o determinante for zero, a transformação não é sobrejetiva.

Passo 3

Vamos montar a matriz que representa a transformação . A matriz será:
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Simplificando:

Passo 5

Agora, queremos que a transformação não seja sobrejetiva, ou seja, que o determinante seja igual a zero:
Resolvendo essa equação para :

Resposta

A transformação linear não é sobrejetiva quando ou .

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<html><head></head><body><div>Seja <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“13.248ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 5855.6 1000”><title>f(t x) = t f(x)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 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<span class="math-inline ">
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