Seja T: R^3 -> R^3 uma transformação linear dada por
T(x, y, z) = (2x + βz, βz + 2y, βy + 2z)
determine para que valores de beta a transformação linear não é sobrejetiva.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . A pergunta é: para quais valores de essa transformação não é sobrejetiva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, principalmente determinantes e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão é sobrejetiva se e somente se ela for injetiva, o que acontece quando a matriz associada à transformação tem determinante diferente de zero. Então, se o determinante for zero, a transformação não é sobrejetiva.

Passo 3

Vamos montar a matriz que representa a transformação . A matriz será:
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Simplificando:

Passo 5

Agora, queremos que a transformação não seja sobrejetiva, ou seja, que o determinante seja igual a zero:
Resolvendo essa equação para :

Resposta

A transformação linear não é sobrejetiva quando ou .

Exercícios relacionados