determine para que valores de a transformação linear não é sobrejetiva.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . A pergunta é: para quais valores de essa transformação não é sobrejetiva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, principalmente determinantes e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão é sobrejetiva se e somente se ela for injetiva, o que acontece quando a matriz associada à transformação tem determinante diferente de zero. Então, se o determinante for zero, a transformação não é sobrejetiva.
Passo 3
Vamos montar a matriz que representa a transformação . A matriz será:
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Simplificando:
Passo 5
Agora, queremos que a transformação não seja sobrejetiva, ou seja, que o determinante seja igual a zero:
Resolvendo essa equação para :
Resposta
A transformação linear não é sobrejetiva quando ou .