Uma função tem derivada direcional igual a 2 na direção do vetor (2, 2) no ponto 1,2 e é igual a -3 na direção do vetor (1, -1), no mesmo ponto. Determine o gradiente da função no ponto 1,2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o gradiente de uma função num ponto específico, usando as derivadas direcionais dadas em duas direções diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas direcionais se relacionam com o gradiente e configurar um sistema de equações para encontrar os componentes do gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor u é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor unitário na direção de u. Matematicamente, isso é:

Passo 3

Vamos analisar a primeira direção: o vetor . Primeiro, precisamos transformá-lo em um vetor unitário. O comprimento (ou norma) de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:
A derivada direcional nessa direção é 2, então:
çã

Passo 4

Agora, vamos para a segunda direção: o vetor . Calculamos o vetor unitário:
A derivada direcional nessa direção é -3, então:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Substituindo o valor de na Equação 1:

Resposta

O gradiente da função no ponto é:

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