Uma função tem derivada direcional igual a 2 na direção do vetor
no ponto
e é igual a -3 na direção do vetor
, no mesmo ponto. Determine o gradiente da função no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o gradiente de uma função num ponto específico, usando as derivadas direcionais dadas em duas direções diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas direcionais se relacionam com o gradiente e configurar um sistema de equações para encontrar os componentes do gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor u é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor unitário na direção de u. Matematicamente, isso é:
Passo 3
Vamos analisar a primeira direção: o vetor
. Primeiro, precisamos transformá-lo em um vetor unitário. O comprimento (ou norma) de
é:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
A derivada direcional nessa direção é 2, então:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda direção: o vetor
. Calculamos o vetor unitário:
A derivada direcional nessa direção é -3, então:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Substituindo o valor de
na Equação 1:
Resposta
O gradiente da função no ponto
é:
Exercícios relacionados
Seja
a função definida por
Mostre que se
, então
Seja
uma transformação linear dada por
determine para que valores de
a transformação linear não é sobrejetiva.
Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde re K são constantes positivas.
Para os mesmos dados do item anterior, determine o instante no qual
.
Para os mesmos dados do item anterior, determine o instante
Considere as aplicações
Utilize a Regra da Cadeia para calcular
, onde