Uma função tem derivada direcional igual a 2 na direção do vetor (2, 2) no ponto 1,2 e é igual a -3 na direção do vetor (1, -1), no mesmo ponto. Determine o gradiente da função no ponto 1,2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o gradiente de uma função num ponto específico, usando as derivadas direcionais dadas em duas direções diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas direcionais se relacionam com o gradiente e configurar um sistema de equações para encontrar os componentes do gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor u é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor unitário na direção de u. Matematicamente, isso é:

Passo 3

Vamos analisar a primeira direção: o vetor . Primeiro, precisamos transformá-lo em um vetor unitário. O comprimento (ou norma) de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:
A derivada direcional nessa direção é 2, então:
çã

Passo 4

Agora, vamos para a segunda direção: o vetor . Calculamos o vetor unitário:
A derivada direcional nessa direção é -3, então:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Substituindo o valor de na Equação 1:

Resposta

O gradiente da função no ponto é:

Exercícios relacionados

Seja f: R^2 R a função definida por
f(x, y)=rrr x y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)
Mostre que se v=(a, b), então
partial fpartial v(0,0)=a^2 ba^2+b^2
Seja T: R^3 -> R^3 uma transformação linear dada por
T(x, y, z) = (2x + βz, βz + 2y, βy + 2z)
determine para que valores de beta a transformação linear não é sobrejetiva.
Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
d y / d t = r y ln(K / y)
onde re K são constantes positivas.
Para os mesmos dados do item anterior, determine o instante tau no qual y(tau) = 3 K / 4.
Considere as aplicações
g(u, v)=(2 uu^2+v^2+1, 2 vu^2+v^2+1, u^2+v^2-1u^2+v^2+1) e f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2
Utilize a Regra da Cadeia para calcular partial hpartial u, onde h(u, v)=f circ g(u, v)