Seja T: V W uma função, em que V e W são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
b) Se T(x+y)=T(x)+T(y) então T é linear.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função , onde e são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. A afirmação que precisamos avaliar é: “Se , então é linear.” Para resolver isso, vamos lembrar dos critérios que definem uma função linear e verificar se a condição dada é suficiente para garantir que seja realmente linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser linear. Uma função é dita linear se ela satisfaz dois critérios:
  1. Aditividade: para todos .
  2. Homogeneidade de grau 1: para todo escalar e todo .
Isso significa que, para ser linear, a função precisa respeitar tanto a soma vetorial quanto a multiplicação por escalar.

Passo 3

A afirmação da questão nos dá apenas a condição de aditividade: . Agora, vamos ver se isso é suficiente para garantir que seja linear. Apesar da aditividade ser uma parte essencial da definição de linearidade, falta a segunda condição, que é a homogeneidade.
Sem a homogeneidade, não podemos afirmar que . Portanto, existe a possibilidade de a função não respeitar a multiplicação por escalar, mesmo que respeite a soma vetorial.

Passo 4

Como a condição dada na questão aborda apenas a aditividade e não garante a homogeneidade, não podemos concluir que é linear apenas com essa informação. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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