Seja
uma função, em que
e
são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
b) Se
então
é linear.
b) Se
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
, onde
e
são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. A afirmação que precisamos avaliar é: “Se
, então
é linear.” Para resolver isso, vamos lembrar dos critérios que definem uma função linear e verificar se a condição dada é suficiente para garantir que
seja realmente linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser linear. Uma função
é dita linear se ela satisfaz dois critérios:
- Aditividade:
para todos . - Homogeneidade de grau 1:
para todo escalar e todo .
Isso significa que, para ser linear, a função precisa respeitar tanto a soma vetorial quanto a multiplicação por escalar.
Passo 3
A afirmação da questão nos dá apenas a condição de aditividade:
. Agora, vamos ver se isso é suficiente para garantir que
seja linear. Apesar da aditividade ser uma parte essencial da definição de linearidade, falta a segunda condição, que é a homogeneidade.
Sem a homogeneidade, não podemos afirmar que
. Portanto, existe a possibilidade de a função não respeitar a multiplicação por escalar, mesmo que respeite a soma vetorial.
Passo 4
Como a condição dada na questão aborda apenas a aditividade e não garante a homogeneidade, não podemos concluir que
é linear apenas com essa informação. Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa.