Em cada parte, determine se b está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b como combinação linear dos vetores coluna de A.
(b) A=[lll1 & 1 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 3] ; b=[r-1 0 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o vetor b está no espaço coluna da matriz A. Se estiver, temos que expressar b como uma combinação linear das colunas de A. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa b estar no espaço coluna de A. Isso quer dizer que existe um conjunto de números (chamaremos de A cdot x = b , A = 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 3 , b = -1 0 2 , ) que, multiplicados pelas colunas de A, dão exatamente o vetor b. Em termos matemáticos, queremos resolver o sistema:
Onde:

Passo 3

Vamos montar o sistema linear correspondente:
1x1 + 1x2 + 2x3 = -1 1x1 + 0x2 + 1x3 = 0 2x1 + 1x2 + 3x3 = 2
Agora, vamos resolver esse sistema usando o método de escalonamento (ou eliminação gaussiana).

Passo 4

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 1 & 1 & 2 & -1 1 & 0 & 1 & 0 2 & 1 & 3 & 2 ]
Primeiro, vamos subtrair a primeira linha da segunda para eliminar o [ccc|c 1 & 1 & 2 & -1 0 & -1 & -1 & 1 2 & 1 & 3 & 2 ] da segunda equação:
[ccc|c 1 & 1 & 2 & -1 0 & -1 & -1 & 1 0 & -1 & -1 & 4 ]
Agora, vamos subtrair 2 vezes a primeira linha da terceira para eliminar o [ccc|c 1 & 1 & 2 & -1 0 & -1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 3 ] da terceira equação:
Em seguida, vamos subtrair a segunda linha da terceira para eliminar o da terceira equação:

Passo 5

Observamos que a última linha resultou em , o que é impossível. Isso significa que o sistema não tem solução, ou seja, não existe combinação linear das colunas de A que resulte no vetor b.

Resposta

O vetor b não está no espaço coluna de A, portanto não é possível expressá-lo como uma combinação linear das colunas de A.

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