Em cada parte, encontre a matriz canônica da transformação definida pelas equações.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a matriz canônica de uma transformação definida por uma equação. Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares e matrizes que as representam. Para resolver, vamos precisar entender como construir a matriz canônica a partir das equações que definem a transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço para outro, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, a transformação está definida por
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na matriz canônica dessa transformação. A matriz canônica é aquela que representa a transformação linear em relação às bases canônicas dos espaços de partida e chegada. Como nossa transformação recebe um vetor de duas dimensões (
) e produz um vetor de uma dimensão (
), a matriz será de tamanho
.
Passo 4
Para construir a matriz, vamos ver como a transformação age nos vetores da base canônica de
. As bases canônicas são
e
.
- Aplicando a transformação em
: - Aplicando a transformação em
:
Passo 5
Agora, colocamos esses resultados como as colunas da matriz canônica. O resultado da transformação de
será a primeira coluna e o de
será a segunda coluna.
Resposta
A matriz canônica da transformação é: