Seja
o tempo de reação em segundos a certo estimulante. Suponha que a variável
tem a função de densidade seguinte:
Se definirmos a variável Y como o tempo da ação do estimulante que segue a seguinte relação
, obtenha a variância da ação do estimulante.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória
que representa o tempo de reação a um estimulante, com uma função de densidade dada. Queremos encontrar a variância da variável
, que está relacionada a
pela relação
. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre variância de variáveis aleatórias transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é variância. A variância mede o quanto os valores de uma variável aleatória se espalham em torno da média. Matemáticamente, para uma variável
, a variância é dada por:
onde
é a esperança (ou média) de
, e
é a esperança do quadrado de
.
Passo 3
Como queremos a variância de
, precisamos usar uma propriedade das variâncias para transformações lineares. Se
, então:
Nesse caso,
e
. Note que a constante
não afeta a variância.
Passo 4
Portanto, para encontrar
, precisamos primeiro calcular
. Vamos começar encontrando
.
A função de densidade de
é:
A esperança
é calculada por:
Passo 5
Calculando a integral:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Passo 7
Calculando a integral:
Então,
.
Passo 8
Agora podemos calcular a variância de
:
Passo 9
Finalmente, usando a propriedade da variância para
:
Resposta
A variância da ação do estimulante é
, ou aproximadamente 1,3889.
Exercícios relacionados
Amostras de emissões de três fornecedores são classificados com relação a satisfazer as especificações de qualidade do ar. Os resultados de 100 amostras são resumidos a seguir:
Conforme | |||
---|---|---|---|
sim | não | ||
Fornecedor | 1 | 22 | 8 |
2 | 25 | 5 | |
3 | 30 | 10 |
Seja
o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor 1 e
o evento em que uma amostra atenda as especificações. Determine o número de amostras em
e
.
a) Escreva o seu genótipo;
b) Represente os distintos gametas que você produz, e calcule a probabilidade de cada um deles.
b) Represente os distintos gametas que você produz, e calcule a probabilidade de cada um deles.
O Departamento de Economia é formado por 15 professores, sendo 11 homens e 4 mulheres. Uma comissão de 5 professores será constituída, sorteando-se, ao acaso, três membros do departamento. Considere a variável aleatória
: número de homens na comissão. Determine:
A probabilidade a comissão ser formada por pelo menos dois homens.
A probabilidade a comissão ser formada por pelo menos dois homens.
Richard está decidindo sobre a aquisição de um bilhete da loteria estatal. Cada bilhete custa
, e a probabilidade dos seguintes prêmios é apresentada na tabela abaixo:
Retorno |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
Probabilidade | 0,5 | 0,25 | 0,2 | 0,05 |
Qual seria o valor esperado do payoff (retorno) de Richard caso ele adquirisse um bilhete de loteria? Qual seria a variância?