Seja x o tempo de reação em segundos a certo estimulante. Suponha que a variável x tem a função de densidade seguinte:
f(x)=lr 2 x & 0
Se definirmos a variável Y como o tempo da ação do estimulante que segue a seguinte relação Y=5 x-18, obtenha a variância da ação do estimulante.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória que representa o tempo de reação a um estimulante, com uma função de densidade dada. Queremos encontrar a variância da variável , que está relacionada a pela relação . Para resolver isso, precisamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre variância de variáveis aleatórias transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é variância. A variância mede o quanto os valores de uma variável aleatória se espalham em torno da média. Matemáticamente, para uma variável Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 , a variância é dada por:
onde é a esperança (ou média) de , e é a esperança do quadrado de .

Passo 3

Como queremos a variância de Var(Y) = a^2 cdot Var(X) , precisamos usar uma propriedade das variâncias para transformações lineares. Se , então:
Nesse caso, e . Note que a constante não afeta a variância.

Passo 4

Portanto, para encontrar f(x) = 2x & se 0 < x < 1 0 & caso contrário , precisamos primeiro calcular E[X] = integral-infty^+infty x cdot f(x) , dx = integral0^1 x cdot 2x , dx = 2 integral0^1 x^2 , dx . Vamos começar encontrando .
A função de densidade de é:
á
A esperança é calculada por:

Passo 5

Calculando a integral:
2 integral0^1 x^2 , dx = 2 [ x^33 ]0^1 = 2 ( 13 - 0 ) = 23
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular E[X^2] = integral-infty^+infty x^2 cdot f(x) , dx = integral0^1 x^2 cdot 2x , dx = 2 integral0^1 x^3 , dx :

Passo 7

Calculando a integral:
2 integral0^1 x^3 , dx = 2 [ x^44 ]0^1 = 2 ( 14 - 0 ) = 12
Então, .

Passo 8

Agora podemos calcular a variância de Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 12 - ( 23 )^2 = 12 - 49 = 918 - 818 = 118 :

Passo 9

Finalmente, usando a propriedade da variância para Var(Y) = 5^2 cdot Var(X) = 25 cdot 118 = 2518 approx 1,3889 :

Resposta

A variância da ação do estimulante é , ou aproximadamente 1,3889.

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