Seja
o tempo de reação em segundos a certo estimulante. Suponha que a variável
tem a função de densidade seguinte:
Se definirmos a variável Y como o tempo da ação do estimulante que segue a seguinte relação
, obtenha a variância da ação do estimulante.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória
que representa o tempo de reação a um estimulante, com uma função de densidade dada. Queremos encontrar a variância da variável
, que está relacionada a
pela relação
. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre variância de variáveis aleatórias transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é variância. A variância mede o quanto os valores de uma variável aleatória se espalham em torno da média. Matemáticamente, para uma variável
, a variância é dada por:
onde
é a esperança (ou média) de
, e
é a esperança do quadrado de
.
Passo 3
Como queremos a variância de
, precisamos usar uma propriedade das variâncias para transformações lineares. Se
, então:
Nesse caso,
e
. Note que a constante
não afeta a variância.
Passo 4
Portanto, para encontrar
, precisamos primeiro calcular
. Vamos começar encontrando
.
A função de densidade de
é:
A esperança
é calculada por:
Passo 5
Calculando a integral:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Passo 7
Calculando a integral:
Então,
.
Passo 8
Agora podemos calcular a variância de
:
Passo 9
Finalmente, usando a propriedade da variância para
:
Resposta
A variância da ação do estimulante é
, ou aproximadamente 1,3889.