Richard está decidindo sobre a aquisição de um bilhete da loteria estatal. Cada bilhete custa R , e a probabilidade dos seguintes prêmios é apresentada na tabela abaixo:
Retorno , e a probabilidade dos seguintes prêmios é apresentada na tabela abaixo: | Retorno | 0,00 R |
Probabilidade 0,5 0,25 0,2 0,05
Qual seria o valor esperado do payoff (retorno) de Richard caso ele adquirisse um bilhete de loteria? Qual seria a variância?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O Richard tá pensando em comprar um bilhete de loteria que custa R$ 1,00. A tabela mostra as possíveis quantias que ele pode ganhar (os retornos) e as probabilidades de cada uma. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas:
  1. Valor Esperado do Payoff: Ou seja, quanto, em média, ele espera ganhar de volta.
  2. Variância: Isso nos mostra quanta variação tem o retorno das apostas do Richard.
Pra resolver isso, a gente vai usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente o cálculo do valor esperado e da variância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o Valor Esperado. O valor esperado é basicamente uma média ponderada dos possíveis retornos, onde cada retorno é multiplicado pela sua probabilidade.
A fórmula do valor esperado E[X] = sum (Retorno times Probabilidade) é:
E[X] = (0,00 times 0,5) + (1,00 times 0,25) + (2,00 times 0,2) + (7,50 times 0,05)
Vamos aplicar isso aos dados do Richard:
E[X] = 0 + 0,25 + 0,40 + 0,375 = 1,025
Calculando cada parte:
1,025** Mas atenção! Como o bilhete custa **R
Então, o valor esperado do retorno é R$ 1,025.
Mas atenção! Como o bilhete custa R$ 1,00, o payoff (lucro líquido) esperado é:
Payoff Esperado = Valor Esperado do Retorno - Custo do Bilhete = 1,025 - 1,00 = 0,025
Ou seja, em média, Richard espera ganhar R$ 0,025 por bilhete.

Passo 3

Agora, vamos calcular a Variância, que indica o quanto os retornos variam em relação ao valor esperado. A fórmula da variância Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 é:
E[X^2] = sum (Retorno^2 times Probabilidade)
Primeiro, calculamos E[X^2] = (0,00^2 times 0,5) + (1,00^2 times 0,25) + (2,00^2 times 0,2) + (7,50^2 times 0,05) :
E[X^2] = 0 + 0,25 + 0,8 + 2,8125 = 3,8625
Aplicando os valores:
Var(X) = 3,8625 - (1,025)^2 = 3,8625 - 1,050625 = 2,811875
Agora, calculamos a variância:
Então, a variância do payoff é aproximadamente 2,81.

Resposta

O valor esperado do payoff de Richard é R$ 0,025 e a variância é aproximadamente 2,81.

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