O Departamento de Economia é formado por 15 professores, sendo 11 homens e 4 mulheres. Uma comissão de 5 professores será constituída, sorteando-se, ao acaso, três membros do departamento. Considere a variável aleatória X : número de homens na comissão. Determine:
A probabilidade a comissão ser formada por pelo menos dois homens.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre combinatória e probabilidade. Temos um departamento com 15 professores, sendo 11 homens e 4 mulheres. Queremos formar uma comissão de 5 professores escolhidos aleatoriamente. A variável aleatória representa o número de homens na comissão. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de que essa comissão tenha pelo menos dois homens.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos dois homens”. Isso inclui comissões com 2, 3, 4 ou 5 homens. Mas para facilitar os cálculos, vamos usar uma técnica comum em probabilidade: calcular o complemento. Ou seja, vamos calcular a probabilidade de ter menos de dois homens (0 ou 1 homem) e subtrair esse valor de 1.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade total de formar qualquer comissão de 5 professores. Isso é dado pelo número de combinações possíveis de 15 professores tomados 5 a 5:
Total de combinações = binom155 çõ

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de ter 0 homens na comissão, ou seja, todas as 5 posições são ocupadas por mulheres. Mas como temos apenas 4 mulheres, isso é impossível. Portanto:
P(X = 0) = 0

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de ter 1 homem na comissão. Para isso, escolhemos 1 homem dentre os 11 disponíveis e 4 mulheres dentre as 4 disponíveis:
P(X = 1) = binom111 times binom44binom155
Calculando os valores:
binom111 = 11, binom44 = 1, binom155 = 3003
Então:
P(X = 1) = 11 times 13003 = 113003 approx 0,00366

Passo 6

Agora, vamos encontrar a probabilidade de ter pelo menos dois homens na comissão. Como usamos o complemento, subtraímos a soma das probabilidades de P(X >= 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 - [0 + 0,00366] = 0,99634 e de 1:

Resposta

A probabilidade de a comissão ser formada por pelo menos dois homens é de aproximadamente 99,63%.

Exercícios relacionados