Seja o triângulo de vértices A(-1, 4, -2), B(3, -3, 6) e C(2, -1, 4). Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nas coordenadas A(-1, 4, -2), B(3, -3, 6) e C(2, -1, 4). O que a gente precisa fazer é encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto C.
Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre pontos médios e equações paramétricas de retas. Vamos precisar calcular o ponto médio de AB e depois usar esses dois pontos (o ponto médio e o vértice C) para determinar a reta desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do lado AB. O ponto médio $ M $ entre dois pontos $ A(x_1, y_1, z_1) $ e $ B(x_2, y_2, z_2) $ é dado pela fórmula:
M
Aplicando as coordenadas dos pontos A(-1, 4, -2) e B(3, -3, 6):
A(x1, y1, z1)
Então, o ponto médio $ M $ de AB é $ (1,, 0.5,, 2) $.

Passo 3

Agora, sabemos que a reta que queremos encontrar passa por dois pontos: o ponto médio $ M(1,, 0.5,, 2) $ e o vértice $ C(2,, -1,, 4) $.
Para escrever a equação paramétrica de uma reta, precisamos de um ponto por onde ela passa e de um vetor de direção. Podemos usar $ M $ como o ponto e calcular o vetor que vai de $ M $ até $ C $.

Passo 4

Vamos calcular o vetor v que vai de $ M $ até $ C $. Esse vetor é encontrado subtraindo as coordenadas de $ M $ das coordenadas de $ C $:
M
Então, o vetor de direção da reta é $ \mathbf{v} = (1,, -1.5,, 2) $.

Passo 5

Com o ponto $ M(1,, 0.5,, 2) $ e o vetor de direção $ \mathbf{v} = (1,, -1.5,, 2) $, podemos escrever as equações paramétricas da reta. A forma geral das equações paramétricas de uma reta é:
M(1,, 0.5,, 2)
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é um ponto na reta e $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor de direção.
Aplicando os valores:
v = (1,, -1.5,, 2)

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 1 + t y = 0.5 - 1.5,t z = 2 + 2,t
Onde $ t $ é o parâmetro real.

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