Seja V=R^3. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=(x, y, z) in V: x-3 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear que está perguntando se o conjunto é um subespaço de . Para isso, precisamos saber o que é um subespaço e quais condições ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, um subespaço de um espaço vetorial como precisa cumprir três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor precisa estar em .
  2. Fechado na adição: Se você pegar dois vetores em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor de por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em 0 - 3 times 0 = 0 é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando a adição de vetores:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em x1 = 3z1 , digamos x2 = 3z2 e (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (3z1 + 3z2, y1 + y2, z1 + z2) , onde ambos satisfazem 3z1 + 3z2 - 3(z1 + z2) = 0 . Isso significa que:
Agora, somamos esses vetores:
Queremos ver se o primeiro componente dessa soma também satisfaz a condição :
Portanto, a soma dos dois vetores também está em .

Passo 5

3. Verificando a multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor qualquer em c times (x, y, z) = (c x, c y, c z) = (c times 3z, c y, c z) = (3(c z), c y, c z) , 3(c z) - 3(c z) = 0 , onde , e multiplicamos por um escalar :
Agora, verificamos a condição :
Então, o vetor resultante também está em .

Resposta

Como todas as três condições para um subespaço são satisfeitas, o conjunto é um subespaço de .

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