Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear que está perguntando se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, precisamos saber o que é um subespaço e quais condições ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, um subespaço de um espaço vetorial como
precisa cumprir três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar em . - Fechado na adição: Se você pegar dois vetores em
e somar, o resultado também deve estar em . - Fechado na multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor de
por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
O vetor zero em
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando a adição de vetores:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em , digamos
e
, onde ambos satisfazem
. Isso significa que:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
Agora, somamos esses vetores:
Queremos ver se o primeiro componente dessa soma também satisfaz a condição
:
Portanto, a soma dos dois vetores também está em
.
Passo 5
3. Verificando a multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor qualquer em ,
, onde
, e multiplicamos por um escalar
:
Pegamos um vetor qualquer em
Agora, verificamos a condição
:
Então, o vetor resultante também está em
.
Resposta
Como todas as três condições para um subespaço são satisfeitas, o conjunto
é um subespaço de
.