Verifique se o conjunto C=(ll1 & 0 0 & 1),(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 1) cdot(ll0 & 1 1 & 2) gera o espaço vetorial M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos é verificar se o conjunto 1 & 0 0 & 1 gera o espaço vetorial 1 & 1 0 & 0 . Aqui, estamos lidando com matrizes 2x2 e queremos saber se, combinando essas matrizes de forma linear, conseguimos construir qualquer matriz 2x2 real. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaço vetorial, combinação linear e a dimensão de 0 & 0 1 & 1 .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto das duas últimas matrizes no conjunto 0 & 0 1 & 1 cdot 0 & 1 1 & 2 = (0 cdot 0 + 0 cdot 1) & (0 cdot 1 + 0 cdot 2) (1 cdot 0 + 1 cdot 1) & (1 cdot 1 + 1 cdot 2) = 0 & 0 1 & 3 . Isso nos dará a terceira matriz do conjunto.

[
C = 1 & 0 0 & 1 , 1 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 3
\cdot


]
Então, o conjunto fica assim:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o espaço vetorial consiste em todas as matrizes 2x2 com entradas reais. A dimensão desse espaço é 4, porque precisamos de quatro números para especificar qualquer matriz 2x2.
Para que o conjunto gere , ele precisa ser capaz de combinar-se linearmente para formar qualquer matriz 2x2. No entanto, temos apenas 3 matrizes em , e como a dimensão de é 4, já fica suspeito que não consigamos gerar todo o espaço apenas com 3 vetores.

Passo 4

Vamos verificar a linearidade das matrizes em 1 & 0 0 & 1 , 1 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 3 . Se elas forem linearmente independentes e seu número for igual à dimensão do espaço (que é 4), então sim, geram o espaço. Mas como temos apenas 3 matrizes, mesmo que todas sejam independentes, ainda faltaria uma para completar a base do espaço.
Além disso, observando as matrizes em :
Percebe-se que não há uma maneira de combinar essas três para obter uma matriz com, por exemplo, um “1” apenas na posição (1,2) ou (2,1), sem afetar outras posições. Isso indica que falta diversidade suficiente nas matrizes para cobrir todo o espaço .

Resposta

Não, o conjunto não gera o espaço vetorial .

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