Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos o conjunto
e queremos verificar se o subconjunto
é um subespaço de
. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que definem um subespaço vetorial. Vamos precisar verificar três condições: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
, temos:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se temos dois vetores em
, digamos
e
, a soma deles também deve estar em
. Vamos somar:
Para que esse vetor esteja em
, deve satisfazer a condição
. Então:
Expandindo o lado direito:
Sabemos que
e
, então:
Isso implica que
, o que só é verdade se pelo menos um dos
for zero. Como isso nem sempre é o caso, a adição não mantém a condição
para todos os vetores em
.
Passo 4
Como o conjunto
não é fechado sob adição, não precisamos verificar a multiplicação por escalar. A partir dessa falha, concluímos que
não é um subespaço de
.
Resposta
O subconjunto
não é um subespaço de
.