Seja V=R^3. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=(x, y, z) in V: x=z^2.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos o conjunto V = R^3 e queremos verificar se o subconjunto W = (x, y, z) in V : x = z^2 é um subespaço de V. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que definem um subespaço vetorial. Vamos precisar verificar três condições: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em W. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Substituindo na condição de W, temos:
x = z^2 Rightarrow 0 = 0^2 Rightarrow 0 = 0
Isso é verdadeiro, então o vetor zero pertence a W.

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechado sob adição. Isso significa que se temos dois vetores em W, digamos (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2), a soma deles também deve estar em W. Vamos somar:
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Para que esse vetor esteja em W, deve satisfazer a condição x = z^2. Então:
x1 + x2 = (z1 + z2)^2
Expandindo o lado direito:
(z1 + z2)^2 = z1^2 + 2z1z2 + z2^2
Sabemos que x1 = z1^2 e x2 = z2^2, então:
z1^2 + z2^2 = z1^2 + 2z1z2 + z2^2
Isso implica que 0 = 2z1z2, o que só é verdade se pelo menos um dos z for zero. Como isso nem sempre é o caso, a adição não mantém a condição x = z^2 para todos os vetores em W.

Passo 4

Como o conjunto W não é fechado sob adição, não precisamos verificar a multiplicação por escalar. A partir dessa falha, concluímos que W não é um subespaço de V.

Resposta

O subconjunto W = (x, y, z) in R^3 : x = z^2 não é um subespaço de V = R^3.

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