Calcule as projeções ortogonais projv u onde:
u=(1,0,1) e v=(0,1,0);

Passo 1

Beleza, vamos calcular a projeção ortogonal de um vetor u = (1, 0, 1) sobre outro vetor v = (0, 1, 0). Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial, especificamente sobre projeções de vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar (também conhecido como produto interno) e a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é calculado assim:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Vamos calcular o produto escalar entre u e v:
u cdot v = (1)(0) + (0)(1) + (1)(0) = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 3

Agora, precisamos calcular o produto escalar de v consigo mesmo, ou seja, v cdot v. Isso é importante porque vamos usar esse valor para encontrar a magnitude de v ao quadrado:
v cdot v = (0)(0) + (1)(1) + (0)(0) = 0 + 1 + 0 = 1

Passo 4

Com esses valores, podemos usar a fórmula da projeção ortogonal de u sobre v:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Substituindo os valores que encontramos:
projv u = ( 01 ) v = 0 cdot v

Passo 5

Multiplicando o escalar 0 pelo vetor v:
0 cdot v = (0 cdot 0, 0 cdot 1, 0 cdot 0) = (0, 0, 0)

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é projv u = (0, 0, 0).

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