Seja X uma variável aleatória binomial com
e
. Calcule as seguintes probabilidades a partir da função de probabilidade binomial e também a partir da tabela da binomial e compare os resultados.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória binomial, que usa para contar o número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso. Aqui, a probabilidade de sucesso é
e o número de tentativas é
. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de obter no máximo 2 sucessos, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar a função de probabilidade binomial e também a tabela da binomial para comparar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de probabilidade binomial. A fórmula para calcular a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas é:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas. -
é a probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos. -
é a probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos.
Passo 3
Vamos calcular
, que é a soma das probabilidades de obter 0, 1 ou 2 sucessos:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da função binomial.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades para obter
:
Passo 6
Para confirmar, vamos verificar esse valor usando a tabela da distribuição binomial. Olhando a tabela para
,
e
, a probabilidade acumulada
é aproximadamente 0,9298, que está muito próxima do nosso cálculo usando a função de probabilidade binomial.
Resposta
A probabilidade de obter no máximo 2 sucessos é aproximadamente 0,9298.