Seja X uma variável aleatória binomial com p=0,1 e n=10. Calcule as seguintes probabilidades a partir da função de probabilidade binomial e também a partir da tabela da binomial e compare os resultados.
(a) P(X <= 2)(R: 0,9298)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória binomial, que usa para contar o número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso. Aqui, a probabilidade de sucesso é p = 0,1 e o número de tentativas é n = 10. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de obter no máximo 2 sucessos, ou seja, P(X <= 2). Para resolver isso, vamos usar a função de probabilidade binomial e também a tabela da binomial para comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de probabilidade binomial. A fórmula para calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • p^k é a probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos.
  • (1-p)^n-k é a probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos.

Passo 3

Vamos calcular P(X <= 2), que é a soma das probabilidades de obter 0, 1 ou 2 sucessos:
P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da função binomial.

Passo 4

Calculando P(X=0):
P(X=0) = binom100 times 0,1^0 times (1-0,1)^10 = 1 times 1 times 0,9^10 approx 0,3487
Calculando P(X=1):
P(X=1) = binom101 times 0,1^1 times (1-0,1)^9 = 10 times 0,1 times 0,9^9 approx 0,3874
Calculando P(X=2):
P(X=2) = binom102 times 0,1^2 times (1-0,1)^8 = 45 times 0,01 times 0,9^8 approx 0,1947

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para obter P(X <= 2):
P(X <= 2) = 0,3487 + 0,3874 + 0,1947 approx 0,9308

Passo 6

Para confirmar, vamos verificar esse valor usando a tabela da distribuição binomial. Olhando a tabela para n=10, p=0,1 e k=2, a probabilidade acumulada P(X <= 2) é aproximadamente 0,9298, que está muito próxima do nosso cálculo usando a função de probabilidade binomial.

Resposta

A probabilidade de obter no máximo 2 sucessos é aproximadamente 0,9298.

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