Considere que o número de vezes em que um indivíduo contrai gripe durante o período de um ano seja modelado por uma variável aleatória com distribuição de Poisson, com valor esperado igual a 4. Suponha ainda que uma nova droga, baseada em vitamina C, reduza esse valor esperado para 2 em 80 % da população (mantendo a distribuição de Poisson), enquanto não produza efeito algum nos demais 20 %. Avalie as afirmações a seguir:
(a) A probabilidade de que um indivíduo, pertencente à parcela da população beneficiada pela nova droga, contraia gripe duas vezes em um ano é 2 e^-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a quantidade de vezes que uma pessoa pode pegar gripe em um ano, e essa quantidade segue uma distribuição de Poisson com valor esperado (λ) igual a 4. Além disso, tem uma nova droga à base de vitamina C que reduz esse valor esperado para 2 em 80% da população, sem efeito nos outros 20%. Precisamos avaliar se a probabilidade de uma pessoa que usa a droga pegar gripe duas vezes em um ano é $ 2 e^{-2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo ou espaço fixo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
A fórmula da probabilidade de observar exatamente $ k $ ocorrências é:
k
Onde:
  • $ \lambda $ é o valor esperado (média) de ocorrências.
  • $ k $ é o número de ocorrências que queremos calcular a probabilidade.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 3

No caso da pergunta, queremos saber a probabilidade de uma pessoa que usa a droga pegar gripe exatamente 2 vezes em um ano. Para essas pessoas, o valor esperado $ \lambda $ foi reduzido para 2.
Aplicando a fórmula:
lambda
Vamos calcular isso passo a passo:
  1. Calcular $ 2^2 = 4 $.
  2. Calcular $ 2! = 2 \times 1 = 2 $.
  3. Substituir na fórmula:
P(2; 2) = e^-2 times 2^22!

Passo 4

Vimos que a probabilidade de uma pessoa beneficiada pela droga pegar gripe duas vezes no ano é $ 2 e^{-2} $, que é exatamente o que a afirmação propõe.

Resposta

A afirmação está correta. A probabilidade de uma pessoa que usa a nova droga pegar gripe duas vezes em um ano é $ 2 e^{-2} $.

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