Um indivíduo pode usar uma de duas rotas em seu caminho de volta pra casa. Na primeira rota, há 4 cruzamentos com ferrovias. A outra rota é mais longa, mas tem apenas 2 cruzamentos. Um dia, o indivíduo tem um compromisso em casa com hora marcada. A probabilidade de ele ter de parar em qualquer um dos cruzamentos é de 0,1 . Ele estima que chegará atrasado se for parado por trens em pelo menos metade dos cruzamentos encontrados. Os trens operam de forma independente em todos os cruzamentos.
(b) Ele decide jogar uma moeda para escolher a rota:
I Qual a probabilidade de escolher a rota 1? (R: 0,50 )
II Sabendo que ele chegou atrasado, qual a probabilidade de que tenha escolhido a rota 1? (R: 0,2158 )

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos duas rotas para voltar para casa: a Rota 1 com 4 cruzamentos de ferrovias e a Rota 2 com 2 cruzamentos. A probabilidade de ter que parar em qualquer cruzamento é de 0,1. O objetivo é calcular duas probabilidades:
I. A probabilidade de escolher a Rota 1.
II. A probabilidade de ter escolhido a Rota 1, sabendo que a pessoa chegou atrasada.
Para resolver, vamos usar conceitos de probabilidade básica e probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a Parte I: Qual a probabilidade de escolher a Rota 1?
Como ele decide entre duas rotas jogando uma moeda, as duas opções têm a mesma chance de serem escolhidas. Então, a probabilidade de escolher a Rota 1 é igual a 0,5 ou 50%.

Passo 3

Agora, vamos para a Parte II: Sabendo que ele chegou atrasado, qual a probabilidade de que tenha escolhido a Rota 1?
Para isso, vamos usar a fórmula da probabilidade condicional:
P(R1|A) = P(A|R1) cdot P(R1)P(A)
Onde:
- $ P(R1|A) $ é a probabilidade de ter escolhido a Rota 1 dado que chegou atrasado.
- $ P(A|R1) $ é a probabilidade de chegar atrasado se escolheu a Rota 1.
- $ P(R1) $ é a probabilidade de escolher a Rota 1.
- $ P(A) $ é a probabilidade de chegar atrasado em qualquer rota.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular $ P(A|R1) $, a probabilidade de chegar atrasado na Rota 1.
Na Rota 1, há 4 cruzamentos. Ele chega atrasado se for parado em pelo menos metade deles, ou seja, em 2, 3 ou 4 cruzamentos.
Usamos a distribuição binomial para calcular essa probabilidade:
P(A|R1)
Calculando cada termo:
- Para k=2:
P(A|R1) = sumk=2^4 binom4k (0,1)^k (0,9)^4-k
  • Para k=3:
binom42 (0,1)^2 (0,9)^2 = 6 times 0,01 times 0,81 = 0,0486
- Para k=4:
binom43 (0,1)^3 (0,9)^1 = 4 times 0,001 times 0,9 = 0,0036
Somando todos:
binom44 (0,1)^4 (0,9)^0 = 1 times 0,0001 times 1 = 0,0001

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(A|R2) $, a probabilidade de chegar atrasado na Rota 2.
Na Rota 2, há 2 cruzamentos. Ele chega atrasado se for parado em pelo menos metade, ou seja, em 1 ou 2 cruzamentos.
Usando a distribuição binomial:
P(A|R2)
Calculando cada termo:
- Para k=1:
P(A|R2) = sumk=1^2 binom2k (0,1)^k (0,9)^2-k
  • Para k=2:
binom21 (0,1)^1 (0,9)^1 = 2 times 0,1 times 0,9 = 0,18
Somando:
binom22 (0,1)^2 (0,9)^0 = 1 times 0,01 times 1 = 0,01

Passo 6

Sabemos que a pessoa escolhe cada rota com probabilidade de 0,5. Agora, vamos calcular $ P(A) $, a probabilidade total de chegar atrasado:
P(A)
Substituindo os valores:
P(A) = P(A|R1) cdot P(R1) + P(A|R2) cdot P(R2)

Passo 7

Finalmente, aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
P(R1|A) = P(A|R1) cdot P(R1)P(A) = 0,0523 times 0,50,12115 approx 0,026150,12115 approx 0,2158

Resposta

I. A probabilidade de escolher a Rota 1 é 0,50.
II. A probabilidade de ter escolhido a Rota 1, sabendo que chegou atrasado, é aproximadamente 0,2158.

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