Seja
uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
Considere as seguintes afirmações:
I. O valor esperado de
é
.
II. O valor esperado de
é
.
III. A variância de
é
.
Marque a alternativa correta.
(a) Somente os itens I e II estão incorretos.
(b) Somente os itens I e III estão in corretos.
© Somente os itens II e III estão in corretos.
(d) Os itens I, II e III estão incorretos.
(e) Os itens I, II e III estão corretos.
I. O valor esperado de
II. O valor esperado de
III. A variância de
Marque a alternativa correta.
(a) Somente os itens I e II estão incorretos.
(b) Somente os itens I e III estão in corretos.
© Somente os itens II e III estão in corretos.
(d) Os itens I, II e III estão incorretos.
(e) Os itens I, II e III estão corretos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma variável aleatória contínua $ X $ com a função densidade de probabilidade $ f(x) = 3x^2 $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. O que precisamos fazer é verificar se as afirmações sobre o valor esperado $ \mathbb{E}(X) $, $ \mathbb{E}(X^2) $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ estão corretas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado $ \mathbb{E}(X) $ de uma variável aleatória contínua é calculado pela integral de $ x $ vezes a função densidade $ f(x) $ sobre todo o intervalo onde $ f(x) $ é diferente de zero. Então, temos:
Essa integral nos dá o valor esperado de $ X $.
Passo 3
Resolvendo a integral:
Então, o valor esperado $ \mathbb{E}(X) $ é realmente 0,75, confirmando a afirmação I.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \mathbb{E}(X^2) $. Da mesma forma, usamos a definição:
Passo 5
Resolvendo essa integral:
Portanto, $ \mathbb{E}(X^2) $ também está correto na afirmação II.
Passo 6
Agora, vamos calcular a variância $ \operatorname{Var}(X) $. A variância é dada por:
Já sabemos que $ \mathbb{E}(X^2) = 0,60 $ e $ \mathbb{E}(X) = 0,75 $. Então:
A variância calculada é 0,0375, conforme a afirmação III.
Resposta
A alternativa correta é a letra (e) Os itens I, II e III estão corretos.