Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
f(x)= 3 x^2 & , para 0 <= x <= 1 0 & , caso contrário á
Considere as seguintes afirmações:
I. O valor esperado de X é mu=E(X)=0,75.
II. O valor esperado de X^2 é E(X^2)=0,60.
III. A variância de X é sigma^2=Var(X)=0,0375.
Marque a alternativa correta.
(a) Somente os itens I e II estão incorretos.
(b) Somente os itens I e III estão in corretos.
© Somente os itens II e III estão in corretos.
(d) Os itens I, II e III estão incorretos.
(e) Os itens I, II e III estão corretos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma variável aleatória contínua $ X $ com a função densidade de probabilidade $ f(x) = 3x^2 $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. O que precisamos fazer é verificar se as afirmações sobre o valor esperado $ \mathbb{E}(X) $, $ \mathbb{E}(X^2) $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ estão corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado $ \mathbb{E}(X) $ de uma variável aleatória contínua é calculado pela integral de $ x $ vezes a função densidade $ f(x) $ sobre todo o intervalo onde $ f(x) $ é diferente de zero. Então, temos:
E(X)
Essa integral nos dá o valor esperado de $ X $.

Passo 3

Resolvendo a integral:
E(X) = integral0^1 3x^3 , dx = 3 [ x^44 ]0^1 = 3 ( 14 - 0 ) = 34 = 0,75
Então, o valor esperado $ \mathbb{E}(X) $ é realmente 0,75, confirmando a afirmação I.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \mathbb{E}(X^2) $. Da mesma forma, usamos a definição:
E(X^2)

Passo 5

Resolvendo essa integral:
E(X^2) = integral0^1 3x^4 , dx = 3 [ x^55 ]0^1 = 3 ( 15 - 0 ) = 35 = 0,60
Portanto, $ \mathbb{E}(X^2) $ também está correto na afirmação II.

Passo 6

Agora, vamos calcular a variância $ \operatorname{Var}(X) $. A variância é dada por:
Var(X)
Já sabemos que $ \mathbb{E}(X^2) = 0,60 $ e $ \mathbb{E}(X) = 0,75 $. Então:
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
A variância calculada é 0,0375, conforme a afirmação III.

Resposta

A alternativa correta é a letra (e) Os itens I, II e III estão corretos.

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