Seja T uma variável aleatória que dá o tempo de vida de um televisor de 55 polegadas fabricado pela empresa NKM. Considere que T tem como modelo a função densidade de probabilidade f(t)=110 e^-110 t, para t>0. Com base nestas informações, considere as segintes afirmações:
I. P(T <= 2)=0,1813.
II. P(2 <= T <= 5)=0,2122.
III. P(2 <= T <= 5 mid T>2)=0,2592.
IV. o valor esperado de T é mu=E(T)=110 cdot 100=10.
V. O desvio-padrão de T é sigma=raiz100=10.
Marque a alternativa correta.
(a) Os cinco itens estão incorretos.
(b) Os cinco itens estão corretos.
© Somente o item III esta incorreto.
(d) Somente o item IV esta incorreto.
(e) Somente o item V esta incorreto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo de vida de uma TV de 55 polegadas da empresa NKM, modelado por uma distribuição exponencial. A gente tem que verificar se cinco afirmações sobre probabilidades e medidas dessa distribuição estão corretas e escolher a alternativa certa. Para isso, vamos precisar entender algumas coisas básicas de distribuição exponencial, como calcular probabilidades e entender valor esperado e desvio-padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição exponencial com função densidade $ f(t) = \frac{1}{10} e^{-\frac{1}{10} t} $, o parâmetro é $ \lambda = \frac{1}{10} $. Isso significa que o valor esperado, ou seja, a média $ \mathbb{E}(T) $, é dado por $ \frac{1}{\lambda} = 10 $, e o desvio-padrão $ \sigma $ é $ \frac{1}{\lambda} = 10 $ também.

Passo 3

Agora vamos verificar cada afirmação:
I. $ P(T \leq 2) = 0,1813 $
A probabilidade de $ T $ ser menor ou igual a 2 é dada pela função de distribuição acumulada da exponencial:
P(T <= 2) = 0,1813
Substituindo $ t = 2 $ e $ \lambda = \frac{1}{10} $:
T
Então, a afirmação I está correta.

Passo 4

II. $ P(2 \leq T \leq 5) = 0,2122 $
Para calcular essa probabilidade, usamos:
P(2 <= T <= 5) = 0,2122
Substituindo os valores:
P(2 <= T <= 5) = e^-lambda cdot 2 - e^-lambda cdot 5
Portanto, a afirmação II também está correta.

Passo 5

III. $ P(2 \leq T \leq 5 \mid T > 2) = 0,2592 $
Aqui a gente está calculando uma probabilidade condicional. A fórmula é:
P(2 <= T <= 5 mid T > 2) = 0,2592
Já sabemos que $ P(2 \leq T \leq 5) = 0,2122 $ e $ P(T > 2) = e^{-0,2} \approx 0,8187 $. Então:
P(2 <= T <= 5 mid T > 2) = P(2 <= T <= 5)P(T > 2)
Assim, a afirmação III está correta.

Passo 6

IV. $ \mathbb{E}(T) = \frac{1}{10} \cdot 100 = 10 $
O valor esperado de uma distribuição exponencial é $ \mathbb{E}(T) = \frac{1}{\lambda} $. Com $ \lambda = \frac{1}{10} $:
E(T) = 110 cdot 100 = 10
A parte intermediária da afirmação está confusa, mas o resultado final está correto. Então, a afirmação IV está correta.

Passo 7

V. O desvio-padrão de $ T $ é $ \sigma = \sqrt{100} = 10 $
O desvio-padrão de uma distribuição exponencial é $ \sigma = \frac{1}{\lambda} $. Com $ \lambda = \frac{1}{10} $:
T
A raíz quadrada de 100 é 10, então a afirmação V está correta.

Resposta

A alternativa correta é a (b) Os cinco itens estão corretos.

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