Seja
uma variável aleatória que dá o tempo de vida de um televisor de 55 polegadas fabricado pela empresa NKM. Considere que
tem como modelo a função densidade de probabilidade
, para
. Com base nestas informações, considere as segintes afirmações:
I.
.
II.
.
III.
.
IV. o valor esperado de
é
.
V. O desvio-padrão de
é
.
Marque a alternativa correta.
(a) Os cinco itens estão incorretos.
(b) Os cinco itens estão corretos.
© Somente o item III esta incorreto.
(d) Somente o item IV esta incorreto.
(e) Somente o item V esta incorreto.
I.
II.
III.
IV. o valor esperado de
V. O desvio-padrão de
Marque a alternativa correta.
(a) Os cinco itens estão incorretos.
(b) Os cinco itens estão corretos.
© Somente o item III esta incorreto.
(d) Somente o item IV esta incorreto.
(e) Somente o item V esta incorreto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo de vida de uma TV de 55 polegadas da empresa NKM, modelado por uma distribuição exponencial. A gente tem que verificar se cinco afirmações sobre probabilidades e medidas dessa distribuição estão corretas e escolher a alternativa certa. Para isso, vamos precisar entender algumas coisas básicas de distribuição exponencial, como calcular probabilidades e entender valor esperado e desvio-padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição exponencial com função densidade $ f(t) = \frac{1}{10} e^{-\frac{1}{10} t} $, o parâmetro é $ \lambda = \frac{1}{10} $. Isso significa que o valor esperado, ou seja, a média $ \mathbb{E}(T) $, é dado por $ \frac{1}{\lambda} = 10 $, e o desvio-padrão $ \sigma $ é $ \frac{1}{\lambda} = 10 $ também.
Passo 3
Agora vamos verificar cada afirmação:
I. $ P(T \leq 2) = 0,1813 $
A probabilidade de $ T $ ser menor ou igual a 2 é dada pela função de distribuição acumulada da exponencial:
Substituindo $ t = 2 $ e $ \lambda = \frac{1}{10} $:
Então, a afirmação I está correta.
Passo 4
II. $ P(2 \leq T \leq 5) = 0,2122 $
Para calcular essa probabilidade, usamos:
Substituindo os valores:
Portanto, a afirmação II também está correta.
Passo 5
III. $ P(2 \leq T \leq 5 \mid T > 2) = 0,2592 $
Aqui a gente está calculando uma probabilidade condicional. A fórmula é:
Já sabemos que $ P(2 \leq T \leq 5) = 0,2122 $ e $ P(T > 2) = e^{-0,2} \approx 0,8187 $. Então:
Assim, a afirmação III está correta.
Passo 6
IV. $ \mathbb{E}(T) = \frac{1}{10} \cdot 100 = 10 $
O valor esperado de uma distribuição exponencial é $ \mathbb{E}(T) = \frac{1}{\lambda} $. Com $ \lambda = \frac{1}{10} $:
A parte intermediária da afirmação está confusa, mas o resultado final está correto. Então, a afirmação IV está correta.
Passo 7
V. O desvio-padrão de $ T $ é $ \sigma = \sqrt{100} = 10 $
O desvio-padrão de uma distribuição exponencial é $ \sigma = \frac{1}{\lambda} $. Com $ \lambda = \frac{1}{10} $:
A raíz quadrada de 100 é 10, então a afirmação V está correta.
Resposta
A alternativa correta é a (b) Os cinco itens estão corretos.