Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
f(x)= 3 x^2 & , para 0 <= x <= 1 0 & , caso contrário á
Considere as seguintes afirmações:
I. f(x)>0 para todo x in(0,1) e integral0^1 3 x^2=1.
II. P(0,25 <= X <= 0,75)=0,4063.
III. F(0,5)=P(X <= 0,5)=0,125.
Marque a alternativa correta.
(a) Os itens I, II e III estão corretos.
(b) Os itens I, II e III estão incorretos.
© Somente o item I esta correto.
(d) Somente o item II esta incorreto.
(e) Somente o item III esta incorreto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar três afirmações sobre uma variável aleatória contínua $ X $ que tem uma função densidade de probabilidade dada por:
X á
A matéria envolvida aqui é Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas, especificamente lidando com funções de densidade de probabilidade (fdp) e funções de distribuição acumulada (cdf). Vamos precisar calcular integrais para verificar as afirmações propostas.

Passo 2

Afirmação I: $ f(x) > 0 $ para todo $ x \in (0,1) $ e $ \int_{0}^{1} 3x^{2} , dx = 1 $.
Primeiro, vamos verificar se $ f(x) $ é maior que zero no intervalo $ (0,1) $:
  • Para $ 0 < x < 1 $, $ 3x^{2} $ é sempre positivo porque $ x^{2} $ é positivo e multiplicado por 3 continua positivo.
  • Fora desse intervalo, $ f(x) = 0 $, mas estamos preocupados apenas com $ (0,1) $.
Agora, vamos calcular a integral para ver se a função é uma verdadeira função de densidade de probabilidade (a integral deve ser igual a 1):
f(x) > 0
Então, a Afirmação I está correta!

Passo 3

Afirmação II: $ P(0,25 \leq X \leq 0,75) = 0,4063 $.
Para encontrar essa probabilidade, precisamos calcular a integral da função de densidade entre 0,25 e 0,75:
P(0,25 <= X <= 0,75) = 0,4063
Vamos calcular:
P(0,25 <= X <= 0,75) = integral0,25^0,75 3x^2 , dx
Arredondando, temos aproximadamente 0,4063. Portanto, a Afirmação II também está correta!

Passo 4

Afirmação III: $ F(0,5) = P(X \leq 0,5) = 0,125 $.
Aqui, $ F(x) $ é a função de distribuição acumulada (cdf), que nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Vamos calcular $ F(0,5) $:
F(0,5) = P(X <= 0,5) = 0,125
Portanto, $ F(0,5) = 0,125 $, confirmando que a Afirmação III também está correta!

Resposta

A alternativa (a) Os itens I, II e III estão corretos é a correta.

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