Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
f(x)= 3 x^2 & , para 0 <= x <= 1 0 & , caso contrário á
Sua função de distribuição acumulada é dada por
F(x)= 0 & , para x <= 0 x^3 & , para 0= 1
Com base nestas informações, considere as seguintes afirmações:
I. o p-ésimo percentil de X é o valor xp=raiz[3]p, para p in(0,1).
II. Fixando p=0,50, obtemos o valor mediano M d=raiz[3]0,50=0,7937.
III. Fixando p=0,75, obtemos o terceito quartil Q3=raiz[3]0,75=0,9086.
Marque a alternativa correta.
(a) Somente os itens I e II estão corretos.
(b) Somente os itens I e III estão corretos.
© Somente os itens II e III estão corretos.
(d) Os itens I, II e III estão corretos.
(e) Os itens I, II e III estão incorretos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade específica e sua função de distribuição acumulada (CDF). Nosso lance é analisar três afirmações relacionadas aos percentis dessa distribuição e decidir quais estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são percentis, mediana e quartis, e como eles se relacionam com a CDF.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um percentil. O p-ésimo percentil de uma distribuição é o valor abaixo do qual p% dos dados se encontram. Matematicamente, se $ F(x) $ é a CDF, então o p-ésimo percentil $ x_p $ satisfaz $ F(x_p) = p $.

Passo 3

Dada a função de distribuição acumulada $ F(x) $, temos:
F(x)
Para encontrar o p-ésimo percentil $ x_p $, precisamos resolver $ F(x_p) = p $. No intervalo $ 0 < x_p < 1 $, isso se traduz em $ x_p^{3} = p $, ou seja, $ x_p = \sqrt[3]{p} $.

Passo 4

Agora, vamos analisar cada afirmação:
Afirmação I: O p-ésimo percentil de $ X $ é o valor $ x_{p} = \sqrt[3]{p} $, para $ p \in (0,1) $.
Pelo que vimos no passo anterior, isso está correto. Sim, $ x_p = \sqrt[3]{p} $.
Afirmação II: Fixando $ p = 0,50 $, obtemos o valor mediano $ M_d = \sqrt[3]{0,50} = 0,7937 $.
A mediana é o percentil de 50%, então $ x_{0,50} = \sqrt[3]{0,50} $. Calculando:
X
Então, essa afirmação também está correta.
Afirmação III: Fixando $ p = 0,75 $, obtemos o terceiro quartil $ Q_{3} = \sqrt[3]{0,75} = 0,9086 $.
O terceiro quartil é o 75º percentil, então $ x_{0,75} = \sqrt[3]{0,75} $. Calculando:
xp = raiz[3]p
Portanto, essa afirmação também está correta.

Resposta

(d) Os itens I, II e III estão corretos.

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