Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade específica e sua função de distribuição acumulada (CDF). Nosso lance é analisar três afirmações relacionadas aos percentis dessa distribuição e decidir quais estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são percentis, mediana e quartis, e como eles se relacionam com a CDF.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um percentil. O p-ésimo percentil de uma distribuição é o valor abaixo do qual p% dos dados se encontram. Matematicamente, se $ F(x) $ é a CDF, então o p-ésimo percentil $ x_p $ satisfaz $ F(x_p) = p $.
Passo 3
Dada a função de distribuição acumulada $ F(x) $, temos:
F(x)
Para encontrar o p-ésimo percentil $ x_p $, precisamos resolver $ F(x_p) = p $. No intervalo $ 0 < x_p < 1 $, isso se traduz em $ x_p^{3} = p $, ou seja, $ x_p = \sqrt[3]{p} $.
Passo 4
Agora, vamos analisar cada afirmação:
Afirmação I: O p-ésimo percentil de $ X $ é o valor $ x_{p} = \sqrt[3]{p} $, para $ p \in (0,1) $.
Pelo que vimos no passo anterior, isso está correto. Sim, $ x_p = \sqrt[3]{p} $.
Afirmação II: Fixando $ p = 0,50 $, obtemos o valor mediano $ M_d = \sqrt[3]{0,50} = 0,7937 $.
A mediana é o percentil de 50%, então $ x_{0,50} = \sqrt[3]{0,50} $. Calculando:
X
Então, essa afirmação também está correta.
Afirmação III: Fixando $ p = 0,75 $, obtemos o terceiro quartil $ Q_{3} = \sqrt[3]{0,75} = 0,9086 $.
O terceiro quartil é o 75º percentil, então $ x_{0,75} = \sqrt[3]{0,75} $. Calculando: