O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:
f(x)=cc k(2 x-x^2), & se 0 <= x <= 1 0, & se x<0 ou x>1
b) Calcule P(0 <= X <= 3 / 4 mid X>1 / 4);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a probabilidade de que o diâmetro do cabo elétrico X esteja entre 0 e 3/4, dado que X é maior que 1/4. Isso é um exercício de probabilidade condicional usando funções densidade de variáveis aleatórias contínuas. Vamos precisar lembrar como trabalhar com funções densidade e como calcular probabilidades condicionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar o valor de k na função densidade $ f(x) = k(2x - x^2) $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. Sabemos que a integral da função densidade em todo o espaço deve ser igual a 1. Então:
f(x) = k(2x - x^2)

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral0^1 (2x - x^2) , dx = [ x^2 - x^33 ]0^1 = (1 - 13) - (0 - 0) = 23
Então:
k cdot 23 = 1 implies k = 32

Passo 4

Agora que temos o valor de k, a função densidade fica:
f(x) = 32(2x - x^2)

Passo 5

Vamos calcular $ P(0 \leq X \leq \frac{3}{4} \mid X > \frac{1}{4}) $. Pela definição de probabilidade condicional:
P(0 <= X <= 34 mid X > 14)
Aqui, $ A $ é $ 0 \leq X \leq \frac{3}{4} $ e $ B $ é $ X > \frac{1}{4} $. Então, $ A \cap B $ é $ \frac{1}{4} < X \leq \frac{3}{4} $.

Passo 6

Calculamos $ P(B) = P(X > \frac{1}{4}) $:
P(B) = P(X > 14)

Passo 7

Calculando a integral:
integral14^1 32(2x - x^2) , dx = 32 [ x^2 - x^33 ]14^1
= 32 ( (1 - 13) - ( (14)^2 - (14)^33 ) )
= 32 ( 23 - ( 116 - 1192 ) ) = 32 ( 23 - 11192 ) = 32 cdot 121192 = 363384 = 121128

Passo 8

Agora, calculamos $ P(A \cap B) = P\left(\frac{1}{4} < X \leq \frac{3}{4}\right) $:
P(A cap B) = P(14 < X <= 34)

Passo 9

Calculando essa integral:
integral14^34 32(2x - x^2) , dx = 32 [ x^2 - x^33 ]14^34
= 32 ( (916 - 27192) - (116 - 1192) )
= 32 ( 916 - 27192 - 116 + 1192 ) = 32 ( 816 - 26192 ) = 32 cdot 80192 = 240384 = 58

Passo 10

Agora, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(0 <= X <= 34 mid X > 14) = P(14 < X <= 34)P(X > 14) = 58121128 = 58 times 128121 = 640968 = 80121

Resposta

A probabilidade $ P\left(0 \leq X \leq \frac{3}{4} \mid X > \frac{1}{4}\right) $ é igual a $ \frac{80}{121} $.

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