O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:
b) Calcule
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a probabilidade de que o diâmetro do cabo elétrico X esteja entre 0 e 3/4, dado que X é maior que 1/4. Isso é um exercício de probabilidade condicional usando funções densidade de variáveis aleatórias contínuas. Vamos precisar lembrar como trabalhar com funções densidade e como calcular probabilidades condicionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar o valor de k na função densidade $ f(x) = k(2x - x^2) $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. Sabemos que a integral da função densidade em todo o espaço deve ser igual a 1. Então:
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Então:
Passo 4
Agora que temos o valor de k, a função densidade fica:
Passo 5
Vamos calcular $ P(0 \leq X \leq \frac{3}{4} \mid X > \frac{1}{4}) $. Pela definição de probabilidade condicional:
Aqui, $ A $ é $ 0 \leq X \leq \frac{3}{4} $ e $ B $ é $ X > \frac{1}{4} $. Então, $ A \cap B $ é $ \frac{1}{4} < X \leq \frac{3}{4} $.
Passo 6
Calculamos $ P(B) = P(X > \frac{1}{4}) $:
Passo 7
Calculando a integral:
Passo 8
Agora, calculamos $ P(A \cap B) = P\left(\frac{1}{4} < X \leq \frac{3}{4}\right) $:
Passo 9
Calculando essa integral:
Passo 10
Agora, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade $ P\left(0 \leq X \leq \frac{3}{4} \mid X > \frac{1}{4}\right) $ é igual a $ \frac{80}{121} $.