Seja v1 a velocidade de um barco em relação às águas de um rio de margens paralelas e v2 a velocidade das águas em relação às margens. Sabendo que v1=40 km / h e que v2=20 km / h, determine o ângulo entre v1 e v2 para que o barco atravesse o rio perpendicularmente às margens. Admita que v2 seja paralela às margens. [Desenvolva seu raciocínio.]

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um barco que está tentando atravessar um rio. A velocidade do barco em relação à água é de $ v_1 = 40 , km/h $ e a velocidade da água do rio em relação às margens é de $ v_2 = 20 , km/h $. A pergunta é: qual o ângulo entre a direção do barco e a direção da correnteza para que o barco cruze o rio de forma perpendicular às margens? Vamos usar conceitos de vetores e trigonometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o barco cruzar perpendicularmente às margens. Isso quer dizer que, para um observador na margem, o movimento resultante do barco deve ser diretamente de um lado para o outro do rio, sem ser arrastado pela correnteza. Para isso, a componente da velocidade do barco que vai na direção da correnteza precisa cancelar exatamente a velocidade da correnteza.

Passo 3

Vamos decompor a velocidade do barco em duas direções: uma paralela às margens (horizontal) e outra perpendicular às margens (vertical). A velocidade da correnteza $ \vec{v}_2 $ está na direção horizontal. Para que o barco se mova apenas na direção vertical, a componente horizontal da velocidade do barco $ \vec{v}_1 $ deve ser igual em magnitude, mas oposta em direção à velocidade da correnteza $ \vec{v}_2 $.

Passo 4

Matematicamente, isso fica assim:
v1x = v1 cdot cos(theta) = v2
Onde $ \theta $ é o ângulo entre $ \vec{v}_1 $ e $ \vec{v}_2 $.

Passo 5

Agora, vamos isolar $ \cos(\theta) $:
cos(theta)

Passo 6

Para encontrar o ângulo $ \theta $, usamos a função inversa do cosseno:
theta

Passo 7

Sabemos que $ \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ $. Portanto, o ângulo necessário entre a direção do barco e a direção da correnteza para cruzar o rio perpendicularmente é de 60 graus.

Resposta

O ângulo entre v1 e v2 para que o barco atravesse o rio perpendicularmente às margens é de 60^circ.

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