Seja
a velocidade de um barco em relação às águas de um rio de margens paralelas e
a velocidade das águas em relação às margens. Sabendo que
que
, determine o ângulo entre
e
para que o barco atravesse o rio perpendicularmente às margens. Admita que
seja paralela às margens. [Desenvolva seu raciocínio.]
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um barco que está tentando atravessar um rio. A velocidade do barco em relação à água é de $ v_1 = 40 , km/h $ e a velocidade da água do rio em relação às margens é de $ v_2 = 20 , km/h $. A pergunta é: qual o ângulo entre a direção do barco e a direção da correnteza para que o barco cruze o rio de forma perpendicular às margens? Vamos usar conceitos de vetores e trigonometria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o barco cruzar perpendicularmente às margens. Isso quer dizer que, para um observador na margem, o movimento resultante do barco deve ser diretamente de um lado para o outro do rio, sem ser arrastado pela correnteza. Para isso, a componente da velocidade do barco que vai na direção da correnteza precisa cancelar exatamente a velocidade da correnteza.
Passo 3
Vamos decompor a velocidade do barco em duas direções: uma paralela às margens (horizontal) e outra perpendicular às margens (vertical). A velocidade da correnteza $ \vec{v}_2 $ está na direção horizontal. Para que o barco se mova apenas na direção vertical, a componente horizontal da velocidade do barco $ \vec{v}_1 $ deve ser igual em magnitude, mas oposta em direção à velocidade da correnteza $ \vec{v}_2 $.
Passo 4
Matematicamente, isso fica assim:
Onde $ \theta $ é o ângulo entre $ \vec{v}_1 $ e $ \vec{v}_2 $.
Passo 5
Agora, vamos isolar $ \cos(\theta) $:
Passo 6
Para encontrar o ângulo $ \theta $, usamos a função inversa do cosseno:
Passo 7
Sabemos que $ \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ $. Portanto, o ângulo necessário entre a direção do barco e a direção da correnteza para cruzar o rio perpendicularmente é de 60 graus.
Resposta
O ângulo entre
e
para que o barco atravesse o rio perpendicularmente às margens é de
.