Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. com f.d.p.
a) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre distribuição de renda em uma localidade específica. A variável aleatória representa a renda, em milhares de reais, com uma função de densidade de probabilidade dada. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter uma renda superior a R$ 3.000,00.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) nos ajuda a determinar a probabilidade de estar em determinado intervalo. No caso, queremos a probabilidade de (já que 3 mil reais correspondem a ).
Passo 3
Para encontrar , vamos calcular a integral da função de densidade de de 3 até o valor máximo que pode assumir, que aqui é 6 (segundo a definição da f.d.p.). A fórmula geral para a probabilidade é:
Passo 4
Observando a função , vemos que para , . Como 3 está dentro desse intervalo, usaremos essa expressão para a nossa integração.
Passo 5
Vamos calcular a integral de de 3 a 6:
Passo 6
Resolver a integral:
Passo 7
Aplicando os limites de 3 a 6:
Calculando cada parte:
Para :
Então:
Para :
Então:
Passo 8
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter uma renda superior a R$ 3.000,00 é de ou .