Seja um vetor arbitrário, e seja um vetor unitário em alguma direção fixa. Mostre que
Qual é o significado geométrico de cada um dos dois termos da expansão?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de vetores. A gente precisa mostrar que um vetor qualquer pode ser decomposto em duas partes usando um vetor unitário . Para resolver isso, vamos usar produtos vetoriais e escalares, além de entender um pouco sobre projeções de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é o produto escalar entre e , que basicamente dá a componente de na direção de . Ou seja, é como se a gente projetasse na direção de .

Passo 3

Então, é justamente a projeção de na direção de . Isso nos dá um vetor que aponta na direção de e tem o tamanho da componente de nessa direção.

Passo 4

Agora, vamos olhar para . Aqui, temos um produto vetorial duplo. Usando a identidade vetorial: , podemos simplificar essa expressão.

Passo 5

Aplicando a identidade, temos:
Como é um vetor unitário, . Então:

Passo 6

Agora, somando as duas partes que a gente tem:
Então, mostramos que:

Resposta

A decomposição mostra que é a soma de sua projeção na direção de , que é , e de uma parte perpendicular a , que é . Geometricamente, o primeiro termo representa a componente de ao longo de , e o segundo termo representa a componente de que é perpendicular a .

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