Seja A um vetor arbitrário, e seja e um vetor unitário em alguma direção fixa. Mostre que
A=e(A cdot e)+e times(A times e)
Qual é o significado geométrico de cada um dos dois termos da expansão?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de vetores. A gente precisa mostrar que um vetor qualquer A pode ser decomposto em duas partes usando um vetor unitário e. Para resolver isso, vamos usar produtos vetoriais e escalares, além de entender um pouco sobre projeções de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A cdot e. Isso é o produto escalar entre A e e, que basicamente dá a componente de A na direção de e. Ou seja, é como se a gente projetasse A na direção de e.

Passo 3

Então, e (A cdot e) é justamente a projeção de A na direção de e. Isso nos dá um vetor que aponta na direção de e e tem o tamanho da componente de A nessa direção.

Passo 4

Agora, vamos olhar para e times (A times e). Aqui, temos um produto vetorial duplo. Usando a identidade vetorial: A times (B times C) = B (A cdot C) - C (A cdot B), podemos simplificar essa expressão.

Passo 5

Aplicando a identidade, temos:
e times (A times e) = A (e cdot e) - e (e cdot A)
Como e é um vetor unitário, e cdot e = 1. Então:
e times (A times e) = A - e (A cdot e)

Passo 6

Agora, somando as duas partes que a gente tem:
e (A cdot e) + e times (A times e) = e (A cdot e) + (A - e (A cdot e)) = A
Então, mostramos que:
A = e (A cdot e) + e times (A times e)

Resposta

A decomposição mostra que A é a soma de sua projeção na direção de e, que é e (A cdot e), e de uma parte perpendicular a e, que é e times (A times e). Geometricamente, o primeiro termo representa a componente de A ao longo de e, e o segundo termo representa a componente de A que é perpendicular a e.

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