Seja
um vetor arbitrário, e seja
um vetor unitário em alguma direção fixa. Mostre que
Qual é o significado geométrico de cada um dos dois termos da expansão?
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de vetores. A gente precisa mostrar que um vetor qualquer
pode ser decomposto em duas partes usando um vetor unitário
. Para resolver isso, vamos usar produtos vetoriais e escalares, além de entender um pouco sobre projeções de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso é o produto escalar entre
e
, que basicamente dá a componente de
na direção de
. Ou seja, é como se a gente projetasse
na direção de
.
Passo 3
Então,
é justamente a projeção de
na direção de
. Isso nos dá um vetor que aponta na direção de
e tem o tamanho da componente de
nessa direção.
Passo 4
Agora, vamos olhar para
. Aqui, temos um produto vetorial duplo. Usando a identidade vetorial:
, podemos simplificar essa expressão.
Passo 5
Aplicando a identidade, temos:
Como
é um vetor unitário,
. Então:
Passo 6
Agora, somando as duas partes que a gente tem:
Então, mostramos que:
Resposta
A decomposição mostra que
é a soma de sua projeção na direção de
, que é
, e de uma parte perpendicular a
, que é
. Geometricamente, o primeiro termo representa a componente de
ao longo de
, e o segundo termo representa a componente de
que é perpendicular a
.
Exercícios relacionados
A viga mostrada na figura (a) tem área da seção transversal com perfil em forma de
como mostra a figura (b). Determinar a tensão de flexão máxima que ocorre na seção
da viga.
(a)
(b)
(a)
(b)
Indique os cuidados que devem ser tomados com o material selecionado durante a execução da obra.
Quanto ao aço CA-50 utilizado na construção civil, responda: Cite 5 bitolas;