Seja uma viga simétrica biapoiada de vão interno L, com dois balanços de comprimento B. A viga é submetida a um carregamento simétrico composto por três cargas verticais P, em que duas delas são aplicadas nas extremidades dos dois balanços, enquanto a outra é aplicada no meio do väo central da viga. Determine o comprimento B dos balanços supracitados de forma que o deslocamento vertical no meio da viga seja nulo. Considere que as propriedades fisicas e geométricas sejam constantes para toda a estrutura. (Use apenas métodos vistos nas aulas). (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma viga simétrica apoiada em dois pontos, com um vão central de comprimento L e dois balanços (extensões para fora dos apoios) de comprimento B. A viga está sob três cargas verticais P: duas nas extremidades dos balanços e uma no meio do vão central. A missão aqui é descobrir quanto deve ser o comprimento B desses balanços para que o deslocamento vertical no meio da viga (no ponto central do vão L) seja exatamente zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de deflexão de vigas e como diferentes cargas afetam essa deflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a deflexão de uma viga pode ser influenciada por diferentes cargas. Quando temos múltiplas cargas atuando na mesma viga, a deflexão total em um ponto é a soma das deflexões causadas por cada carga individualmente. Isso é chamado de superposição de deflexões.

Passo 3

Vamos identificar as cargas e suas posições:
  1. Uma carga P no meio do vão central (no ponto onde queremos que a deflexão seja zero).
  2. Duas cargas P, cada uma nas extremidades dos balanços de comprimento B.
Como a viga é simétrica, a contribuição das duas cargas nos balanços será a mesma para a deflexão no meio.

Passo 4

Precisamos calcular a deflexão causada pela carga P no meio do vão central e a deflexão causada por cada carga P nos balanços. Em seguida, somamos essas deflexões e igualamos a zero para encontrar o valor de B.

Passo 5

Vamos usar a fórmula da deflexão máxima para uma viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada no centro:
de
Onde:
  • de é a deflexão,
  • P é a carga,
  • L é o comprimento do vão,
  • E é o módulo de elasticidade do material,
  • I é o momento de inércia da seção transversal da viga.

Passo 6

Agora, vamos considerar as cargas nos balanços. Cada balanço de comprimento B com uma carga P na extremidade gera uma deflexão. A fórmula para a deflexão no endentro de um balanço simplesmente apoiado com uma carga concentrada na extremidade é:
deç
Como temos dois balanços, a deflexão total causada pelas cargas nos balanços será:
2 times P B^33 E I

Passo 7

A deflexão total no meio da viga será a soma da deflexão causada pela carga central e pelas duas cargas nos balanços:
de

Passo 8

Queremos que essa deflexão total seja zero. Portanto, podemos igualar a soma a zero:
P L^348 E I + 2 P B^33 E I = 0
Podemos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por 48 E I para eliminar os denominadores:
P L^3 + 32 P B^3 = 0

Passo 9

Agora, isolamos B^3:
32 P B^3 = -P L^3
Dividindo ambos os lados por 32 P:
B^3 = -L^332
Como comprimento não pode ser negativo, consideramos apenas o valor positivo:
B^3 = L^332

Passo 10

Para encontrar B, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
B = ( L^332 )^13 = L2 times raiz[3]4
Simplificando:
B = L2 times 1.5874 approx L3.1748

Resposta

O comprimento dos balanços deve ser aproximadamente $ B \approx \frac{L}{3.175} $.

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