Seja uma viga simétrica biapoiada de vão interno L, com dois balanços de comprimento B. A viga é submetida a um carregamento simétrico composto por três cargas verticais
, em que duas delas são aplicadas nas extremidades dos dois balanços, enquanto a outra é aplicada no meio do väo central da viga. Determine o comprimento B dos balanços supracitados de forma que o deslocamento vertical no meio da viga seja nulo. Considere que as propriedades fisicas e geométricas sejam constantes para toda a estrutura. (Use apenas métodos vistos nas aulas). (2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma viga simétrica apoiada em dois pontos, com um vão central de comprimento L e dois balanços (extensões para fora dos apoios) de comprimento B. A viga está sob três cargas verticais P: duas nas extremidades dos balanços e uma no meio do vão central. A missão aqui é descobrir quanto deve ser o comprimento B desses balanços para que o deslocamento vertical no meio da viga (no ponto central do vão L) seja exatamente zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de deflexão de vigas e como diferentes cargas afetam essa deflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a deflexão de uma viga pode ser influenciada por diferentes cargas. Quando temos múltiplas cargas atuando na mesma viga, a deflexão total em um ponto é a soma das deflexões causadas por cada carga individualmente. Isso é chamado de superposição de deflexões.
Passo 3
Vamos identificar as cargas e suas posições:
- Uma carga P no meio do vão central (no ponto onde queremos que a deflexão seja zero).
- Duas cargas P, cada uma nas extremidades dos balanços de comprimento B.
Como a viga é simétrica, a contribuição das duas cargas nos balanços será a mesma para a deflexão no meio.
Passo 4
Precisamos calcular a deflexão causada pela carga P no meio do vão central e a deflexão causada por cada carga P nos balanços. Em seguida, somamos essas deflexões e igualamos a zero para encontrar o valor de B.
Passo 5
Vamos usar a fórmula da deflexão máxima para uma viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada no centro:
Onde:
-
é a deflexão, -
é a carga, -
é o comprimento do vão, -
é o módulo de elasticidade do material, -
é o momento de inércia da seção transversal da viga.
Passo 6
Agora, vamos considerar as cargas nos balanços. Cada balanço de comprimento B com uma carga P na extremidade gera uma deflexão. A fórmula para a deflexão no endentro de um balanço simplesmente apoiado com uma carga concentrada na extremidade é:
Como temos dois balanços, a deflexão total causada pelas cargas nos balanços será:
Passo 7
A deflexão total no meio da viga será a soma da deflexão causada pela carga central e pelas duas cargas nos balanços:
Passo 8
Queremos que essa deflexão total seja zero. Portanto, podemos igualar a soma a zero:
Podemos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 9
Agora, isolamos B^3:
Dividindo ambos os lados por 32 P:
Como comprimento não pode ser negativo, consideramos apenas o valor positivo:
Passo 10
Para encontrar B, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Simplificando:
Resposta
O comprimento dos balanços deve ser aproximadamente $ B \approx \frac{L}{3.175} $.