Exercício 2: Considere um lançamento oblíquo da origem, com velocidade inicial v0 fazendo um ângulo theta com a horizontal. Assuma que o corpo possui massa m e o coeficiente de atrito viscoso entre o corpo e o ar é b. Sendo g a aceleração da gravidade, obtenha as expressões para a velocidade, v(t), posição, r(t), e obtenha uma expressão para analisar a forma do movimento (elimine t da componente x da posição e substitua em y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um lançamento oblíquo, ou seja, um projétil lançado com um ângulo theta em relação à horizontal, partindo da origem. A gente precisa encontrar as expressões para a velocidade v(t), a posição r(t) e também a forma da trajetória do movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, considerando a resistência do ar proporcional à velocidade (através do coeficiente b) e a aceleração da gravidade g.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial v0 em suas componentes horizontal e vertical. Usamos trigonometria para isso:
v0x = v0 cos(theta) v0y = v0 sin(theta)
Essas serão as velocidades iniciais nas direções x e y.

Passo 3

Agora, precisamos considerar as forças atuando no projétil. Na direção x, a única força é a resistência do ar, que depende da velocidade:
Fx = -b vx
Na direção y, temos a resistência do ar e a gravidade:
Fy = -m g - b vy
Aplicando a segunda lei de Newton ( F = m a), temos as equações de movimento:
m dvxdt = -b vx m dvydt = -m g - b vy

Passo 4

Vamos simplificar essas equações dividindo ambos os lados por m:
dvxdt = -bm vx dvydt = -g - bm vy
Essas são equações diferenciais que precisamos resolver para encontrar vx(t) e vy(t).

Passo 5

Primeiro, resolvemos para vx(t). A equação é:
dvxdt = -bm vx
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
vx(t) = v0x e^-bm t
Substituindo v0x:
vx(t) = v0 cos(theta) e^-bm t

Passo 6

Agora, vamos resolver para vy(t). A equação é:
dvydt = -g - bm vy
Essa também é uma equação diferencial linear. A solução geral é:
vy(t) = ( v0y + m gb ) e^-bm t - m gb
Substituindo v0y:
vy(t) = ( v0 sin(theta) + m gb ) e^-bm t - m gb

Passo 7

Agora que temos as expressões para as componentes da velocidade, podemos integrar para encontrar as posições x(t) e y(t).
Para x(t):
x(t) = integral vx(t) dt = integral v0 cos(theta) e^-bm t dt
Integrando:
x(t) = -m v0 cos(theta)b e^-bm t + C
Como x(0) = 0, a constante C é m v0 cos(theta)b, então:
x(t) = m v0 cos(theta)b (1 - e^-bm t)

Passo 8

Para y(t):
y(t) = integral vy(t) dt = integral [ ( v0 sin(theta) + m gb ) e^-bm t - m gb ] dt
Integrando termo a termo:
y(t) = -mb ( v0 sin(theta) + m gb ) e^-bm t - m gb t + C
Como y(0) = 0, a constante C é mb ( v0 sin(theta) + m gb ), então:
y(t) = mb ( v0 sin(theta) + m gb ) (1 - e^-bm t) - m gb t

Passo 9

Agora, para encontrar a forma da trajetória y em função de x, precisamos eliminar o tempo t. Vamos resolver a equação de x(t) para t:
x(t) = m v0 cos(theta)b (1 - e^-bm t) Rightarrow 1 - e^-bm t = b xm v0 cos(theta) Rightarrow e^-bm t = 1 - b xm v0 cos(theta) Rightarrow t = -mb ln(1 - b xm v0 cos(theta))
Substituímos t na expressão de y(t):
y(x) = mb ( v0 sin(theta) + m gb ) (1 - b xm v0 cos(theta)) - m gb ( -mb ln(1 - b xm v0 cos(theta)) )
Simplificando:
y(x) = m v0 sin(theta)b (1 - b xm v0 cos(theta)) + m^2 gb^2 (1 - b xm v0 cos(theta)) + m^2 gb^2 ln(1 - b xm v0 cos(theta))

Resposta

As expressões para a velocidade, posição e trajetória do movimento são:
Velocidade:
v(t) = [ v0 cos(theta) e^-bm t ] i + [ ( v0 sin(theta) + m gb ) e^-bm t - m gb ] j
Posição:
r(t) = m v0 cos(theta)b (1 - e^-bm t) i + [ mb ( v0 sin(theta) + m gb ) (1 - e^-bm t) - m gb t ] j
Trajetória ( y em função de x):
y(x) = m v0 sin(theta)b (1 - b xm v0 cos(theta)) + m^2 gb^2 (1 - b xm v0 cos(theta)) + m^2 gb^2 ln(1 - b xm v0 cos(theta))

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