Exercício 2: Considere um lançamento oblíquo da origem, com velocidade inicial
fazendo um ângulo
com a horizontal. Assuma que o corpo possui massa
e o coeficiente de atrito viscoso entre o corpo e o ar é
. Sendo
a aceleração da gravidade, obtenha as expressões para a velocidade,
, posição,
, e obtenha uma expressão para analisar a forma do movimento (elimine
da componente
da posição e substitua em y).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um lançamento oblíquo, ou seja, um projétil lançado com um ângulo
em relação à horizontal, partindo da origem. A gente precisa encontrar as expressões para a velocidade
, a posição
e também a forma da trajetória do movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, considerando a resistência do ar proporcional à velocidade (através do coeficiente
) e a aceleração da gravidade
.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial
em suas componentes horizontal e vertical. Usamos trigonometria para isso:
Essas serão as velocidades iniciais nas direções
e
.
Passo 3
Agora, precisamos considerar as forças atuando no projétil. Na direção
, a única força é a resistência do ar, que depende da velocidade:
Na direção
, temos a resistência do ar e a gravidade:
Aplicando a segunda lei de Newton (
), temos as equações de movimento:
Passo 4
Vamos simplificar essas equações dividindo ambos os lados por
:
Essas são equações diferenciais que precisamos resolver para encontrar
e
.
Passo 5
Primeiro, resolvemos para
. A equação é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
. A equação é:
Essa também é uma equação diferencial linear. A solução geral é:
Substituindo
:
Passo 7
Agora que temos as expressões para as componentes da velocidade, podemos integrar para encontrar as posições
e
.
Para
:
Integrando:
Como
, a constante
é
, então:
Passo 8
Para
:
Integrando termo a termo:
Como
, a constante
é
, então:
Passo 9
Agora, para encontrar a forma da trajetória
em função de
, precisamos eliminar o tempo
. Vamos resolver a equação de
para
:
Substituímos
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
As expressões para a velocidade, posição e trajetória do movimento são:
Velocidade:
Posição:
Trajetória (
em função de
):