Seja o subespaço vetorial de consistindo de todos os polinômios tais que e seja o subespaço vetorial de consistindo de todos os polinômios tais que . Encontre uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício de álgebra linear que envolve espaços vetoriais de polinômios. Basicamente, temos dois subespaços dentro do conjunto de polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. O que precisamos descobrir é uma base para a interseção desses dois subespaços, ou seja, quais polinômios estão nos dois subespaços ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define cada subespaço e como encontrar a interseção entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o subespaço . Ele é composto por todos os polinômios de segundo grau tais que . Vamos representar um polinômio geral de segundo grau:
Como , substituindo na expressão:
Isso significa que, para os polinômios em , o coeficiente deve ser zero. Portanto, os polinômios em têm a forma:
Passo 3
Agora, vamos analisar o subespaço . Ele é formado por todos os polinômios de segundo grau que satisfazem . Usando a mesma forma geral do polinômio:
Substituindo :
Então, a condição para os polinômios em é que a soma dos coeficientes seja igual a zero.
Passo 4
Queremos encontrar a interseção , ou seja, os polinômios que pertencem tanto a quanto a .
Sabemos que em , . Vamos substituir isso na condição de :
Passo 5
Com e , podemos expressar os polinômios na interseção da seguinte forma:
Aqui, pode ser qualquer número real. Isso significa que todos os polinômios na interseção são múltiplos de .