Seja W1 o subespaço vetorial de P2(R) consistindo de todos os polinômios p tais que p(0)=0 e seja W2 o subespaço vetorial de P2(R) consistindo de todos os polinômios q tais que q(1)=0. Encontre uma base para W1 cap W2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício de álgebra linear que envolve espaços vetoriais de polinômios. Basicamente, temos dois subespaços dentro do conjunto de polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. O que precisamos descobrir é uma base para a interseção desses dois subespaços, ou seja, quais polinômios estão nos dois subespaços ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define cada subespaço e como encontrar a interseção entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o subespaço p(x) = ax^2 + bx + c . Ele é composto por todos os polinômios p(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 0 de segundo grau tais que p(x) = ax^2 + bx . Vamos representar um polinômio geral de segundo grau:
Como , substituindo na expressão:
Isso significa que, para os polinômios em , o coeficiente deve ser zero. Portanto, os polinômios em têm a forma:

Passo 3

Agora, vamos analisar o subespaço q(x) = ax^2 + bx + c . Ele é formado por todos os polinômios q(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 0 de segundo grau que satisfazem . Usando a mesma forma geral do polinômio:
Substituindo :
Então, a condição para os polinômios em é que a soma dos coeficientes seja igual a zero.

Passo 4

Queremos encontrar a interseção a + b + 0 = a + b = 0 Rightarrow b = -a , ou seja, os polinômios que pertencem tanto a quanto a .
Sabemos que em , . Vamos substituir isso na condição de :

Passo 5

Com p(x) = ax^2 + (-a)x = a(x^2 - x) e , podemos expressar os polinômios na interseção da seguinte forma:
Aqui, pode ser qualquer número real. Isso significa que todos os polinômios na interseção são múltiplos de .

Resposta

Uma base para é .

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