Determine todas as classes laterais à esquerda dos respectivos subgrupos, isto é, os conjuntos quocientes G / H (observe qual é a operação no grupo):
(d) H=lang<=18rang<= em G=Z36 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos todas as classes laterais à esquerda do subgrupo no grupo . Isso está dentro da teoria de grupos, especificamente sobre grupos abelianos e classes laterais. Vamos precisar entender o que são subgrupos gerados, classes laterais e como formar o conjunto quociente .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o subgrupo em . Na notação , estamos lidando com os restos da divisão por 36, ou seja, os elementos são .
O subgrupo gerado por , denotado , consiste em todos os múltiplos de 18 em .

Passo 3

Vamos calcular os múltiplos de 18 em 1 cdot 18 &= 18 2 cdot 18 &= 36 = 0 :
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos formar as classes laterais à esquerda de em . Uma classe lateral à esquerda de em é um conjunto da forma , onde é um elemento de .
Como é um grupo abeliano (a operação é a adição), as classes laterais à esquerda e à direita são iguais. Então, vamos focar simplesmente em .

Passo 5

Vamos encontrar representantes distintos para cada classe lateral. Sabemos que o índice de em é .
Isso significa que teremos 18 classes laterais distintas. Cada classe será da forma , onde varia de 0 a 17.

Passo 6

Vamos listar todas as classes laterais:
0 + H &= 0, 18 1 + H &= 1, 19 2 + H &= 2, 20 &vdots 17 + H &= 17, 35
Cada classe lateral contém dois elementos, pois .

Resposta

As classes laterais à esquerda de 0 + H &= 0, 18, 1 + H &= 1, 19, 2 + H &= 2, 20, &vdots 17 + H &= 17, 35 em são:
Totalizando 18 classes laterais distintas.

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