Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a probabilidade de eleitores favoráveis ao seu candidato em um município de 30000 habitantes. Uma amostra inicial de 30 pessoas revelou 18 a favor. Usando a informação da amostra inicial, dimensione uma amostra com grau de confiança de 0,98 e erro máximo de estimação de 0,05 .

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma eleição num município com 30.000 habitantes e queremos saber qual a probabilidade de eleitores serem a favor do candidato de um certo partido. Fizemos uma amostra inicial de 30 pessoas, das quais 18 disseram que estão a favor. Nosso objetivo é descobrir quantas pessoas mais precisamos pesquisar para ter certeza, com 98% de confiança, de que nosso resultado tem um erro máximo de 5% (ou 0,05).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção de eleitores favoráveis na nossa amostra inicial. Isso é feito dividindo o número de favoráveis pelo total da amostra.
p = 1830 = 0,6
Então, 60% das pessoas na amostra estão a favor.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor crítico $ Z $ que corresponde a um grau de confiança de 98%. Esse valor nos ajuda a entender quão “confiante” estamos nos nossos resultados. Para 98% de confiança, o valor de $ Z $ é aproximadamente 2,326. Isso significa que queremos ter 98% de certeza de que nossa estimativa está dentro do intervalo desejado.

Passo 4

A margem de erro $ E $ que queremos é de 0,05 (ou 5%). Isso indica o quanto nosso resultado pode variar para mais ou para menos em relação à verdadeira proporção na população.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula para calcular o tamanho da amostra necessário para estimar uma proporção com o nível de confiança e a margem de erro desejados:
n = ( Z^2 cdot p cdot (1 - p)E^2 )
Substituindo os valores que temos:
n = ( 2,326^2 cdot 0,6 cdot 0,40,05^2 ) approx 5,411 cdot 0,240,0025 approx 1,29860,0025 approx 519,44
Como não podemos ter uma fração de pessoa, arredondamos para cima:
n approx 520

Passo 6

Mas espera aí! Nossa população total é de 30.000 habitantes, o que não é muito grande. Então, devemos ajustar o tamanho da amostra usando a fórmula para populções finitas:
najustado = n1 + ( n - 1N )
Onde $ N = 30.000 $. Substituindo:
N = 30.000
Então, precisamos de uma amostra de aproximadamente 511 pessoas.

Resposta

O tamanho da amostra necessário para estimar a probabilidade de eleitores favoráveis com um grau de confiança de 98% e um erro máximo de 5% é de aproximadamente 511 pessoas.

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