Seja X uma variável aleatória com fdp dada por fX(x)=4 x^3 para X=(0,1). Obtenha:
P(X <= 2 / 3 mid X>1 / 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com a função de densidade de probabilidade (fdp) $ f_X(x) = 4x^3 $ definida no intervalo $ (0,1) $. A questão quer saber a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{2}{3} $, dado que $ X $ é maior que $ \frac{1}{3} $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade condicional. É a probabilidade de um evento acontecer sabendo que outro evento já aconteceu. A fórmula é:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
No nosso caso, $ A $ é $ X \leq \frac{2}{3} $ e $ B $ é $ X > \frac{1}{3} $. Então:
A

Passo 3

Agora, vamos calcular $ P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{2}{3}\right) $. Como temos a fdp de $ X $, isso é igual à integral de $ f_X(x) $ de $ \frac{1}{3} $ até $ \frac{2}{3} $:
P(13 < X <= 23)
Calculando a integral:
X
Então:
fX(x)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P\left(X > \frac{1}{3}\right) $. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{1}{3} $:
P(X > 13)
Calculando a integral:
X
Então:
13

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores encontrados na fórmula da probabilidade condicional:
P(X <= 23 mid X > 13) = 5278081 = 527 times 8180 = 5 times 380 = 1580 = 316

Resposta

A probabilidade é $ \frac{3}{16} $.

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