Mostre que
para
é uma fdp e esboce seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que a função $ f(x) = \frac{1}{2} e^{-|x|} $ definida em todo o conjunto dos números reais ($ \mathbb{R} $) é uma função de densidade de probabilidade (fdp). Para isso, precisamos entender alguns conceitos básicos de funções de densidade:
- Função de Densidade de Probabilidade (fdp): É uma função que descreve a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua. Para que uma função seja uma fdp, ela precisa satisfazer dois critérios:
- Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $ em $ \mathbb{R} $.
- Integral Unitária: A integral de $ f(x) $ sobre todo o espaço das variáveis deve ser igual a 1, ou seja, $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) , dx = 1 $.
Vamos seguir esses passos para verificar se $ f(x) $ é realmente uma fdp e, depois, esboçar o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se $ f(x) $ é sempre não-negativa.
A função dada é:
Sabemos que a função exponencial $ e^{-|x|} $ é sempre positiva para qualquer valor de $ x $, pois o expoente de $ e $ nunca torna a função negativa. Além disso, o coeficiente $ \frac{1}{2} $ também é positivo. Portanto, multiplicar dois valores positivos resulta em um valor positivo. Assim, temos:
Portanto, a primeira condição para $ f(x) $ ser uma fdp está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a integral de $ f(x) $ sobre todo o conjunto dos números reais é igual a 1.
Queremos calcular:
Podemos fatorar o $ \frac{1}{2} $ para fora da integral:
A integral de $ e^{-|x|} $ de $ -\infty $ a $ +\infty $ é uma integral conhecida. Vamos calcular essa integral dividindo-a em duas partes:
Para $ x \geq 0 $:
Para $ x < 0 $:
Portanto, a integral total é:
Agora, voltando à nossa expressão original:
Então, a integral de $ f(x) $ sobre todo $ \mathbb{R} $ é igual a 1, satisfazendo a segunda condição para $ f(x) $ ser uma fdp.
Passo 4
Agora que verificamos que $ f(x) $ atende às duas condições necessárias para ser uma função de densidade de probabilidade, vamos esboçar o gráfico dessa função.
A função é dada por:
Essa é uma função simétrica em relação ao eixo $ y $, devido ao termo $ |x| $. Vamos analisar alguns pontos:
-
Para $ x = 0 $:
-
Conforme $ x $ aumenta ou diminui a partir de 0, o valor de $ f(x) $ diminui exponencialmente, aproximando-se de 0.
O gráfico terá a forma de uma curva em “V” suave, atingindo seu ponto máximo em $ x = 0 $ com valor $ \frac{1}{2} $ e decrescendo simetricamente para os lados.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{1}{2} e^{-|x|} $ definida para todos os números reais $ x $ é uma função de densidade de probabilidade válida, pois é sempre não-negativa e sua integral sobre todo $ \mathbb{R} $ é igual a 1. O gráfico de $ f(x) $ é uma curva simétrica em forma de “V” suave, com o ponto máximo em $ x = 0 $ atingindo o valor $ \frac{1}{2} $ e decrescendo exponencialmente para ambos os lados.