Seja (X, Y) distribuído segundo uma Normal Bivariada. Prove que X e Y são independentes se, e somente se, X e Y são não correlacionadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que seguem uma distribuição Normal Bivariada. A missão aqui é provar que $ X $ e $ Y $ são independentes se e somente se elas não são correlacionadas, ou seja, quando a covariância entre elas é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuições normais, independência de variáveis e correlação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa duas variáveis serem independentes. Duas variáveis $ X $ e $ Y $ são independentes se o conhecimento de uma não dá nenhuma informação sobre a outra. Matematicamente, isso é expresso como:
X
Onde $ f_{X,Y}(x,y) $ é a função de densidade conjunta e $ f_X(x) $, $ f_Y(y) $ são as funções de densidade marginais.

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre a correlação. A correlação entre $ X $ e $ Y $ é uma medida que indica o quanto as duas variáveis mudam juntas. Se a correlação for zero, isso indica que não há uma tendência linear de uma variável aumentar ou diminuir quando a outra faz o mesmo. A correlação é dada por:
X
Onde $ Cov(X,Y) $ é a covariância entre $ X $ e $ Y $, e $ \sigma_X $, $ \sigma_Y $ são os desvios padrão de $ X $ e $ Y $, respectivamente.

Passo 4

Para uma distribuição Normal Bivariada, uma propriedade especial é que $ X $ e $ Y $ são independentes se e somente se a covariância entre elas é zero. Isso significa que, se $ Cov(X,Y) = 0 $, então $ X $ e $ Y $ não apenas não estão correlacionadas, mas também são estatisticamente independentes.

Passo 5

Vamos formalizar isso. Na distribuição Normal Bivariada, a função de densidade conjunta é:
Se $ \rho = 0 $, essa expressão simplifica para:
fX,Y(x,y) = 12pisigmaX sigmaY raiz1-rho^2 exp( -12(1-rho^2) [ (x - muXsigmaX)^2 - 2rho (x - muXsigmaX)(y - muYsigmaY) + (y - muYsigmaY)^2 ] )
O que pode ser separado em:
rho = 0
Que é justamente $ f_X(x) \cdot f_Y(y) $.

Passo 6

Então, concluímos que quando $ \rho = 0 $ (ou seja, quando $ Cov(X,Y) = 0 $), a função de densidade conjunta se separa em $ f_X(x) \cdot f_Y(y) $, o que significa que $ X $ e $ Y $ são independentes. E, inversamente, se $ X $ e $ Y $ são independentes numa distribuição Normal Bivariada, necessariamente $ \rho = 0 $.

Resposta

Portanto, em uma distribuição Normal Bivariada, $ X $ e $ Y $ são independentes se e somente se a covariância entre elas é zero, ou seja, elas não são correlacionadas.

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