As variáveis
e
têm densidade conjunta dada por:
Calcule a covariância. As variáveis são independentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a densidade conjunta das variáveis $ X $ e $ Y $ como $ f(x, y) = \frac{1}{2}xy $ para $ 0 < x < y < 2 $. Nosso objetivo aqui é calcular a covariância dessas duas variáveis e verificar se elas são independentes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre densidades conjuntas, médias, variâncias e, claro, a definição de covariância e independência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a covariância entre duas variáveis $ X $ e $ Y $ é dada por:
Então, precisamos calcular $ \mathbb{E}[X] $, $ \mathbb{E}[Y] $ e $ \mathbb{E}[XY] $.
Passo 3
Para encontrar as esperanças $ \mathbb{E}[X] $ e $ \mathbb{E}[Y] $, vamos primeiro achar as funções marginais $ f_X(x) $ e $ f_Y(y) $.
A função marginal de $ X $ é:
A função marginal de $ Y $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \mathbb{E}[X] $:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular $ \mathbb{E}[Y] $:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar $ \mathbb{E}[XY] $:
Calculando a integral interna:
Então:
Calculando:
Passo 7
Agora que temos $ \mathbb{E}[X] = \frac{16}{15} $, $ \mathbb{E}[Y] = \frac{8}{5} $ e $ \mathbb{E}[XY] = \frac{16}{9} $, podemos calcular a covariância:
Passo 8
Por fim, vamos verificar se $ X $ e $ Y $ são independentes. Duas variáveis são independentes se e somente se a densidade conjunta for igual ao produto das densidades marginais, ou seja:
Vamos comparar:
Claramente, $ f(x, y) \neq f_X(x) f_Y(y) $, então $ X $ e $ Y $ não são independentes.
Resposta
A covariância entre $ X $ e $ Y $ é $ \frac{16}{225} $ e as variáveis não são independentes.