As variáveis X e Y têm densidade conjunta dada por:
f(x, y)=12 x y, 0
Calcule a covariância. As variáveis são independentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a densidade conjunta das variáveis $ X $ e $ Y $ como $ f(x, y) = \frac{1}{2}xy $ para $ 0 < x < y < 2 $. Nosso objetivo aqui é calcular a covariância dessas duas variáveis e verificar se elas são independentes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre densidades conjuntas, médias, variâncias e, claro, a definição de covariância e independência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a covariância entre duas variáveis $ X $ e $ Y $ é dada por:
X
Então, precisamos calcular $ \mathbb{E}[X] $, $ \mathbb{E}[Y] $ e $ \mathbb{E}[XY] $.

Passo 3

Para encontrar as esperanças $ \mathbb{E}[X] $ e $ \mathbb{E}[Y] $, vamos primeiro achar as funções marginais $ f_X(x) $ e $ f_Y(y) $.
A função marginal de $ X $ é:
E[X]
A função marginal de $ Y $ é:
E[Y]

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \mathbb{E}[X] $:
E[X]

Passo 5

Em seguida, vamos calcular $ \mathbb{E}[Y] $:
E[Y]

Passo 6

Agora, precisamos encontrar $ \mathbb{E}[XY] $:
E[XY]
Calculando a integral interna:
E[XY] = integral0^2 integralx^2 xy cdot f(x, y) , dy , dx = integral0^2 integralx^2 xy cdot 12xy , dy , dx = 12 integral0^2 x^2 integralx^2 y^2 , dy , dx
Então:
integralx^2 y^2 , dy = [ y^33 ]x^2 = 83 - x^33 = 8 - x^33
Calculando:
E[XY] = 12 integral0^2 x^2 cdot 8 - x^33 , dx = 16 integral0^2 (8x^2 - x^5) , dx = 16 [ 8x^33 - x^66 ]0^2

Passo 7

Agora que temos $ \mathbb{E}[X] = \frac{16}{15} $, $ \mathbb{E}[Y] = \frac{8}{5} $ e $ \mathbb{E}[XY] = \frac{16}{9} $, podemos calcular a covariância:
E[X] = 1615

Passo 8

Por fim, vamos verificar se $ X $ e $ Y $ são independentes. Duas variáveis são independentes se e somente se a densidade conjunta for igual ao produto das densidades marginais, ou seja:
X
Vamos comparar:
Y
f(x, y) = fX(x) fY(y)
Claramente, $ f(x, y) \neq f_X(x) f_Y(y) $, então $ X $ e $ Y $ não são independentes.

Resposta

A covariância entre $ X $ e $ Y $ é $ \frac{16}{225} $ e as variáveis não são independentes.

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