Sejam
e
variáveis aleatórias independentes e com variâncias finitas. Prove que se
, então
e
não podem ser independentes.
Passo 1
Então, temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e têm variâncias finitas. A questão quer que a gente prove que, se as variâncias de $ X $ e $ Y $ são diferentes ($ \operatorname{var}(X) \neq \operatorname{var}(Y) $), então as combinações $ X + Y $ e $ X - Y $ não podem ser independentes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de variância, independência e propriedades de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se duas variáveis aleatórias são independentes, a covariância entre elas é zero. A covariância mede como duas variáveis variam juntas. Se for zero, elas não têm relação linear.
Passo 3
Vamos calcular a covariância entre $ X + Y $ e $ X - Y $:
Expandindo isso, temos:
Passo 4
Sabemos que:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 5
Então, temos:
Passo 6
Se $ \operatorname{var}(X) \neq \operatorname{var}(Y) $, isso significa que:
Passo 7
Como a covariância entre $ X + Y $ e $ X - Y $ não é zero, isso implica que $ X + Y $ e $ X - Y $ não são independentes.
Resposta
Portanto, se $ \operatorname{var}(X) \neq \operatorname{var}(Y) $, então $ X + Y $ e $ X - Y $ não são independentes.