Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes e com variâncias finitas. Prove que se var(X) neq var(Y), então X+Y e X-Y não podem ser independentes.

Passo 1

Então, temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e têm variâncias finitas. A questão quer que a gente prove que, se as variâncias de $ X $ e $ Y $ são diferentes ($ \operatorname{var}(X) \neq \operatorname{var}(Y) $), então as combinações $ X + Y $ e $ X - Y $ não podem ser independentes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de variância, independência e propriedades de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se duas variáveis aleatórias são independentes, a covariância entre elas é zero. A covariância mede como duas variáveis variam juntas. Se for zero, elas não têm relação linear.

Passo 3

Vamos calcular a covariância entre $ X + Y $ e $ X - Y $:
X + Y
Expandindo isso, temos:
X - Y

Passo 4

Sabemos que:
cov(X, X) = var(X)
cov(Y, Y) = var(Y)
cov(X, Y) = 0 (porque $ X $ e $ Y $ são independentes) ã
Substituindo na expressão anterior:
var(X) - 0 + 0 - var(Y) = var(X) - var(Y)

Passo 5

Então, temos:
cov(X + Y, X - Y) = var(X) - var(Y)

Passo 6

Se $ \operatorname{var}(X) \neq \operatorname{var}(Y) $, isso significa que:
var(X) neq var(Y)

Passo 7

Como a covariância entre $ X + Y $ e $ X - Y $ não é zero, isso implica que $ X + Y $ e $ X - Y $ não são independentes.

Resposta

Portanto, se $ \operatorname{var}(X) \neq \operatorname{var}(Y) $, então $ X + Y $ e $ X - Y $ não são independentes.

Exercícios relacionados