As variáveis
e
possuem densidade conjunta dada por:
Calcule o coeficiente de correlação entre elas e interprete seu resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o coeficiente de correlação entre duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que têm uma densidade conjunta dada por:
Vamos precisar usar conceitos de estatística como densidade de probabilidade, esperança matemática, variância, covariância e, claro, o coeficiente de correlação. Basicamente, vamos seguir passo a passo para encontrar todas essas medidas e, no final, calcular o coeficiente de correlação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade conjunta que temos. Ela nos diz como $ X $ e $ Y $ se relacionam probabilisticamente dentro do intervalo $ 0 < x \leq y $. Para facilitar os cálculos, precisamos encontrar as distribuições marginais de $ X $ e $ Y $.
Passo 3
Vamos começar encontrando a distribuição marginal de $ Y $, que chamamos de $ f_Y(y) $. Para isso, integramos a densidade conjunta em relação a $ X $:
Como $ 9 e^{-3 y} $ não depende de $ x $, a integral fica:
Então, a distribuição marginal de $ Y $ é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a distribuição marginal de $ X $, $ f_X(x) $. Para isso, integramos a densidade conjunta em relação a $ Y $:
Integrando, temos:
Então, a distribuição marginal de $ X $ é:
Passo 5
Agora que temos as distribuições marginais, vamos calcular as esperanças $ E[X] $ e $ E[Y] $. Para uma distribuição exponencial da forma $ \lambda e^{-\lambda x} $, a esperança é $ \frac{1}{\lambda} $.
Para $ X $:
Para $ Y $, que tem a distribuição $ 9 y e^{-3 y} $, que é uma distribuição gama com parâmetros $ k=2 $ e $ \theta=\frac{1}{3} $. A esperança para a gama é $ k\theta $:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a esperança de $ XY $, ou seja, $ E[XY] $. Para isso, usamos a definição:
Substituindo $ f(x, y) = 9 e^{-3 y} $:
Primeiro, vamos calcular a integral interna em relação a $ y $:
Esta integral resulta em $ \frac{(x + \frac{1}{3})}{9} e^{-3 x} $. Então:
Resolvendo a integral, obtemos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a covariância entre $ X $ e $ Y $:
A covariância é zero, o que indica que $ X $ e $ Y $ não têm relação linear.
Passo 8
Por fim, para encontrar o coeficiente de correlação $ \rho $, usamos a fórmula:
Onde $ \sigma_X $ e $ \sigma_Y $ são os desvios padrão de $ X $ e $ Y $, respectivamente.
Como a covariância é zero:
Resposta
O coeficiente de correlação entre $ X $ e $ Y $ é $ 0 $, indicando que não há relação linear entre essas duas variáveis.