Seja
uma função diferenciável em
. Se o plano tangente ao gráfico de
no ponto
é dado por
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Estamos trabalhando com uma função diferenciável
no espaço
. O problema nos dá a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto
, que é
. Nosso objetivo é encontrar o vetor gradiente
.
Para resolver isso, precisamos lembrar que o gradiente de uma função em um ponto nos dá a direção de maior crescimento da função naquele ponto e está diretamente relacionado ao plano tangente. Vamos usar essa relação para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do plano tangente de uma forma que nos ajude a identificar as derivadas parciais. A equação dada é:
Queremos expressar isso na forma padrão da equação do plano tangente, que para uma função
no ponto
é:
Vamos isolar
na equação do plano tangente que temos. Primeiro, resolvemos para
:
Agora, comparando com a forma padrão:
Podemos identificar que:
Passo 3
Agora, sabemos que o ponto de tangência é
. Isso significa que
. Porém, na expressão que obtivemos,
. Isso parece um pouco confuso, então vamos revisar nossos passos.
Na verdade, percebemos que ao resolver para
, acabamos com
. Mas sabemos que em
,
. Vamos confirmar:
Está correto! Então a equação do plano tangente está consistente com o ponto dado.
Passo 4
Agora, sabemos que:
O vetor gradiente
é composto exatamente por essas derivadas parciais:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
.
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
.
Calcule os seguintes limites: