Seja z = f(x, y) uma função diferenciável em R^2. Se o plano tangente ao gráfico de f no ponto (1, -1, 2) é dado por x - y + 2 z = 6, encontre nabla f(1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Estamos trabalhando com uma função diferenciável no espaço . O problema nos dá a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto , que é . Nosso objetivo é encontrar o vetor gradiente .
Para resolver isso, precisamos lembrar que o gradiente de uma função em um ponto nos dá a direção de maior crescimento da função naquele ponto e está diretamente relacionado ao plano tangente. Vamos usar essa relação para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano tangente de uma forma que nos ajude a identificar as derivadas parciais. A equação dada é:
Queremos expressar isso na forma padrão da equação do plano tangente, que para uma função no ponto é:
Vamos isolar na equação do plano tangente que temos. Primeiro, resolvemos para :
Agora, comparando com a forma padrão:
Podemos identificar que:

Passo 3

Agora, sabemos que o ponto de tangência é . Isso significa que . Porém, na expressão que obtivemos, . Isso parece um pouco confuso, então vamos revisar nossos passos.
Na verdade, percebemos que ao resolver para , acabamos com . Mas sabemos que em , . Vamos confirmar:
Está correto! Então a equação do plano tangente está consistente com o ponto dado.

Passo 4

Agora, sabemos que:
O vetor gradiente é composto exatamente por essas derivadas parciais:

Resposta

O gradiente de no ponto é .

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