Sejam 11 lançamentos de uma moeda. Considerando as hipóteses
: a moeda é honesta e
: a moeda tende a dar mais cara do que coroa e o nível de significância de 1%, apresente a regra de decisão em termos da estatística
número de coroas.
Passo 1
Então, vamos entender qual é a brincadeira aqui! A gente tem uma moeda sendo lançada 11 vezes. O que a gente quer descobrir é se essa moeda é justa (ou seja, tem a mesma chance de dar cara ou coroa) ou se ela tem uma tendência de dar mais cara do que coroa. Para isso, usamos algo chamado teste de hipóteses. Vamos precisar saber sobre distribuição binomial, nível de significância e como definir uma regra de decisão baseada no número de coroas que aparecem. Nosso objetivo é decidir se rejeitamos a hipótese de que a moeda é justa, com um nível de significância de 1%.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que estamos testando:
- Hipótese nula (H₀): A moeda é honesta, ou seja, a probabilidade de dar cara é 0,5.
- Hipótese alternativa (H₁): A moeda tende a dar mais cara do que coroa, ou seja, a probabilidade de dar cara é maior que 0,5.
A gente vai usar a estatística Y, que é o número de coroas obtidas em 11 lançamentos. Como estamos lidando com um número fixo de lançamentos e duas possibilidades (cara ou coroa), a distribuição de Y segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 11 e p = 0,5.
Passo 3
Agora, precisamos definir o nível de significância, que é a probabilidade máxima que a gente aceita para cometer um erro tipo I (rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira). Aqui, o nível de significância é de 1%, ou seja, 0,01.
Queremos encontrar um valor crítico y* tal que se o número de coroas Y for menor ou igual a y*, nós rejeitamos a hipótese nula H₀. Para isso, precisamos calcular a probabilidade de obter Y≤y* e encontrar o menor y* que satisfaz:
Vamos calcular as probabilidades acumuladas da distribuição binomial até encontrarmos o y* que faz essa condição ser verdadeira.
Passo 4
Vamos calcular as probabilidades acumuladas para Y = 0, 1, 2, …, 11 usando a fórmula da distribuição binomial:
Depois de calcular, percebemos que para Y = 0:
Para Y = 1:
Ainda está abaixo de 0,01. Para Y = 2:
Isso ultrapassa o nível de significância de 1%. Portanto, o valor crítico y* é 1.
Resposta
A regra de decisão é rejeitar a hipótese nula H₀ se o número de coroas Y for menor ou igual a 1. Em termos matemáticos: