17
Seja a reta determinada pela interseção dos planos e . Encontre a equação do plano que passa por e contém a reta .
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um exercício de geometria analítica. A gente tem duas equações de planos:
A interseção desses dois planos forma uma reta, que chamamos de . A missão é encontrar a equação de um terceiro plano que passe pelo ponto e que contenha a reta . Para isso, vamos usar conceitos de interseção de planos e equações paramétricas de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta que é a interseção dos dois planos dados. Para isso, resolvemos o sistema de equações dos planos.
Temos:
Podemos somar as duas equações para eliminar e :
Com , substituímos na primeira equação:
Então, a reta pode ser parametrizada por , onde é um parâmetro real. Assim:
Portanto, a direção da reta é dada pelo vetor diretor .
Passo 3
Agora, sabemos que o plano que queremos encontrar deve conter a reta e passar pelo ponto . Para isso, precisamos de dois vetores dentro desse plano.
Já temos o vetor diretor da reta . Vamos encontrar um vetor que vai de um ponto na reta até o ponto .
Escolhemos um ponto qualquer na reta . Quando :
Então, o ponto está na reta .
O vetor é:
Agora, temos dois vetores no plano: e .
Passo 4
Com esses dois vetores, podemos encontrar a normal do plano usando o produto vetorial. A normal é perpendicular ao plano e é dada por:
Calculando o produto vetorial:
Então, a normal do plano é .
Passo 5
Com a normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos escrever a equação do plano usando a forma: