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Seja a reta determinada pela interseção dos planos e . Encontre a equação do plano que passa por e contém a reta .

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício de geometria analítica. A gente tem duas equações de planos:
A interseção desses dois planos forma uma reta, que chamamos de . A missão é encontrar a equação de um terceiro plano que passe pelo ponto e que contenha a reta . Para isso, vamos usar conceitos de interseção de planos e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta que é a interseção dos dois planos dados. Para isso, resolvemos o sistema de equações dos planos.
Temos:
Podemos somar as duas equações para eliminar e :
Com , substituímos na primeira equação:
Então, a reta pode ser parametrizada por , onde é um parâmetro real. Assim:
Portanto, a direção da reta é dada pelo vetor diretor .

Passo 3

Agora, sabemos que o plano que queremos encontrar deve conter a reta e passar pelo ponto . Para isso, precisamos de dois vetores dentro desse plano.
Já temos o vetor diretor da reta . Vamos encontrar um vetor que vai de um ponto na reta até o ponto .
Escolhemos um ponto qualquer na reta . Quando :
Então, o ponto está na reta .
O vetor é:
Agora, temos dois vetores no plano: e .

Passo 4

Com esses dois vetores, podemos encontrar a normal do plano usando o produto vetorial. A normal é perpendicular ao plano e é dada por:
Calculando o produto vetorial:
Então, a normal do plano é .

Passo 5

Com a normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos escrever a equação do plano usando a forma:
Onde .
Expandindo:
Portanto, a equação do plano é:

Resposta

A equação do plano é .

Exercícios relacionados

Cite uma aplicação da diagonalização de matrizes.
Sejam A um anel, a e b elementos de A e n um número natural. Mostre que:
a) Para todo tem-se que .
Dados e e vetores em e , mostre as seguintes propriedades:
Seja .
Sejam e . Mostre que e são autovetores da matriz .