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Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x-y+z+1=0 e x+y-z-1=0. Encontre a equação do plano que passa por A=(1,0,-1) e contém a reta r.

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício de geometria analítica. A gente tem duas equações de planos:
A interseção desses dois planos forma uma reta, que chamamos de . A missão é encontrar a equação de um terceiro plano que passe pelo ponto e que contenha a reta . Para isso, vamos usar conceitos de interseção de planos e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta x - y + z + 1 = 0 x + y - z - 1 = 0 que é a interseção dos dois planos dados. Para isso, resolvemos o sistema de equações dos planos.
Temos:
(x - y + z + 1) + (x + y - z - 1) = 0 + 0 2x = 0 x = 0
Podemos somar as duas equações para eliminar 0 - y + z + 1 = 0 -y + z = -1 z = y - 1 e x = 0 y = t z = t - 1 :
Com , substituímos na primeira equação:
Então, a reta pode ser parametrizada por , onde é um parâmetro real. Assim:
Portanto, a direção da reta é dada pelo vetor diretor .

Passo 3

Agora, sabemos que o plano que queremos encontrar deve conter a reta x = 0, y = 0, z = -1 e passar pelo ponto AB = A - B = (1 - 0, 0 - 0, -1 - (-1)) = (1, 0, 0) . Para isso, precisamos de dois vetores dentro desse plano.
Já temos o vetor diretor da reta . Vamos encontrar um vetor que vai de um ponto na reta até o ponto .
Escolhemos um ponto qualquer na reta . Quando :
Então, o ponto está na reta .
O vetor é:
Agora, temos dois vetores no plano: e .

Passo 4

Com esses dois vetores, podemos encontrar a normal do plano usando o produto vetorial. A normal n = d times AB é perpendicular ao plano e é dada por:
n = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 = i(1 cdot 0 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 0 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 0 - 1 cdot 1)
Calculando o produto vetorial:
n = (0)i - (-1)j + (-1)k = (0, 1, -1)
Então, a normal do plano é .

Passo 5

Com a normal n cdot ( r - A ) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto 0(x - 1) + 1(y - 0) -1(z + 1) = 0 0 + y - z -1 = 0 y - z -1 = 0 , podemos escrever a equação do plano usando a forma:
y - z = 1
Onde .
Expandindo:
Portanto, a equação do plano é:

Resposta

A equação do plano é .

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