Sejam A e B acontecimentos tais que P(A)+P(B)=x e P(A cap B)=y. Determine, em função de x e de y (ou seja, não é necessário substituir x e y por algum número, as respostas ficarão em funções dessas incógnitas), a probabilidade de:
b) Que se realize um e só um dos dois acontecimentos.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem dois eventos, A e B, e sabemos que a soma das probabilidades deles é igual a , ou seja, . Além disso, a probabilidade de ambos acontecerem ao mesmo tempo é , ou seja, . O que precisamos descobrir é a probabilidade de apenas um desses eventos acontecer, ou seja, que A ou B ocorram, mas não os dois ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade envolvendo união e interseção de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de que pelo menos um dos eventos A ou B aconteça é dada por:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Isso significa que somamos as probabilidades de cada evento e subtraímos a probabilidade de ambos acontecerem juntos para evitar contar duas vezes essa ocorrência.

Passo 3

Como queremos a probabilidade de apenas um dos eventos acontecer, ou seja, apenas A ou apenas B, precisamos remover a parte onde ambos acontecem. Para isso, usamos a seguinte fórmula:
P(A ou B , mas não os dois) = P(A cup B) - P(A cap B) ã
Substituindo a expressão do passo anterior:
P(um e só um) = [P(A) + P(B) - P(A cap B)] - P(A cap B) ó

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão:
P(um e só um) = P(A) + P(B) - 2P(A cap B) ó
Como sabemos que P(um e só um) = x - 2y e , podemos substituir esses valores na equação:
ó

Resposta

A probabilidade de que se realize um e só um dos dois acontecimentos é .

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