Sejam com e . Prove que os intervalos abertos são disjuntos se e somente se ou .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem dois intervalos abertos: e , onde são números reais com e . A pergunta é para provar que esses dois intervalos são disjuntos, ou seja, não têm nenhum número em comum, se e somente se ou . Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos e propriedades dos intervalos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os intervalos serem disjuntos. Dois intervalos são disjuntos quando eles não compartilham nenhum ponto em comum. Ou seja, nenhum número está presente em ambos os intervalos ao mesmo tempo.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando . Se , isso significa que o final do primeiro intervalo é menor ou igual ao início do segundo intervalo . Como os intervalos são abertos, o número não está incluído em e o número não está incluído em . Portanto, não há sobreposição entre os dois intervalos, então eles são disjuntos.

Passo 4

De forma similar, se , isso significa que o final do segundo intervalo é menor ou igual ao início do primeiro intervalo . Novamente, como os intervalos são abertos, não há nenhum número que pertença aos dois intervalos ao mesmo tempo. Então, os intervalos também são disjuntos nesse caso.

Passo 5

Agora, vamos provar a outra direção: se os intervalos e são disjuntos, então necessariamente ou .
Se os intervalos não têm nenhum ponto em comum, ou seja, são disjuntos, isso significa que um dos intervalos está completamente à esquerda do outro na linha dos números reais. Ou seja, todo elemento de é menor que todo elemento de , o que implica , ou vice-versa, todo elemento de é menor que todo elemento de , implicando .

Resposta

Portanto, mostramos que os intervalos abertos e são disjuntos se e somente se ou .

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