Sejam B=e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) a base canônica de R^3 e T: R^3 R^3 a tranformação linear dada por T(e1)=(1,0,-1), T(e2)=(0,2,1) e T(e3)=(0,0,1). Encontre T(x, y, z) para (x, y, z) in R^3. Verifique se T é um isomorfismo. Se for, ache o isomorfismo inverso.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que atua em , ou seja, ela pega vetores de 3 dimensões e os transforma em outros vetores de 3 dimensões. A base canônica é como se fosse o alicerce para descrever qualquer vetor em . O que precisamos fazer aqui é:
  1. Encontrar uma expressão geral para .
  2. Verificar se é um isomorfismo, ou seja, se ela é invertível.
  3. Se for invertível, achar a transformação inversa de .
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de transformações lineares, como combinações lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar T(x, y, z) = x cdot T(e1) + y cdot T(e2) + z cdot T(e3) . Como T(x, y, z) = x cdot (1, 0, -1) + y cdot (0, 2, 1) + z cdot (0, 0, 1) é uma transformação linear, ela pode ser representada pela combinação linear das imagens dos vetores da base canônica.
Temos:
Substituindo os valores dados:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa combinação para obter a expressão final de T(x, y, z) = (x cdot 1 + y cdot 0 + z cdot 0, x cdot 0 + y cdot 2 + z cdot 0, x cdot (-1) + y cdot 1 + z cdot 1) :
T(x, y, z) = (x, 2y, -x + y + z)
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se A = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 -1 & 1 & 1 é um isomorfismo. Um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Uma maneira de verificar isso é ver se a matriz associada a det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 1) - 0 cdot (0 cdot 1 - (-1) cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 1 - (-1) cdot 2) = 1 cdot 2 = 2 é invertível, o que ocorre se o determinante dela for diferente de zero.
Vamos construir a matriz de usando as imagens dos vetores da base:
Calculando o determinante de :
Como , a matriz é invertível, o que significa que é um isomorfismo.

Passo 5

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é um isomorfismo, vamos achar sua inversa A^-1 = 12 2 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & -1 & 2 = 1 & 0 & 0 0.5 & 0.5 & 0 0.5 & -0.5 & 1 . Para isso, podemos encontrar a matriz inversa de T^-1(u, v, w) = ( u, 0.5u + 0.5v, 0.5u - 0.5v + w ) e usá-la para determinar .
Primeiro, achamos . Sabemos que:
Já que , precisamos calcular a matriz adjunta de .
Após calcular, obtemos:
Portanto, a transformação inversa pode ser encontrada multiplicando o vetor pela matriz :

Resposta

A transformação linear é dada por:
T(x, y, z) = (x, 2y, -x + y + z)
Além disso, T^-1(u, v, w) = ( u, 0.5u + 0.5v, 0.5u - 0.5v + w ) é um isomorfismo e sua transformação inversa é:

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Para cada uma das transformações lineares T dadas, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
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c) W=p(x)=a0+a1 x+a2 x^2 mid a2=a0+a1