Sejam a base canônica de e a tranformação linear dada por e . Encontre para . Verifique se é um isomorfismo. Se for, ache o isomorfismo inverso.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que atua em , ou seja, ela pega vetores de 3 dimensões e os transforma em outros vetores de 3 dimensões. A base canônica é como se fosse o alicerce para descrever qualquer vetor em . O que precisamos fazer aqui é:
Encontrar uma expressão geral para .
Verificar se é um isomorfismo, ou seja, se ela é invertível.
Se for invertível, achar a transformação inversa de .
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de transformações lineares, como combinações lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar . Como é uma transformação linear, ela pode ser representada pela combinação linear das imagens dos vetores da base canônica.
Temos:
Substituindo os valores dados:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa combinação para obter a expressão final de :
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se é um isomorfismo. Um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Uma maneira de verificar isso é ver se a matriz associada a é invertível, o que ocorre se o determinante dela for diferente de zero.
Vamos construir a matriz de usando as imagens dos vetores da base:
Calculando o determinante de :
Como , a matriz é invertível, o que significa que é um isomorfismo.
Passo 5
Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é um isomorfismo, vamos achar sua inversa A^-1 = 12 2 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & -1 & 2 = 1 & 0 & 0 0.5 & 0.5 & 0 0.5 & -0.5 & 1 . Para isso, podemos encontrar a matriz inversa de T^-1(u, v, w) = ( u, 0.5u + 0.5v, 0.5u - 0.5v + w ) e usá-la para determinar .
Primeiro, achamos . Sabemos que:
Já que , precisamos calcular a matriz adjunta de .
Após calcular, obtemos:
Portanto, a transformação inversa pode ser encontrada multiplicando o vetor pela matriz :
Resposta
A transformação linear é dada por:
T(x, y, z) = (x, 2y, -x + y + z)
Além disso, T^-1(u, v, w) = ( u, 0.5u + 0.5v, 0.5u - 0.5v + w ) é um isomorfismo e sua transformação inversa é: