Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de P2(R).
c) W=p(x)=a0+a1 x+a2 x^2 mid a2=a0+a1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto W = p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 mid a2 = a0 + a1 é um subespaço vetorial do espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um subespaço vetorial e aplicar essas propriedades ao conjunto dado por:

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular quais são as condições para um conjunto ser um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas:
  1. O conjunto não está vazio: Ou seja, ele contém o vetor zero.
  2. Fechamento sob adição: A soma de dois vetores (neste caso, polinômios) do conjunto também está no conjunto.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real também resulta em um vetor que está no conjunto.

Passo 3

1. Verificando se a2 = a0 + a1 Rightarrow 0 = 0 + 0 não está vazio:
O vetor zero no espaço é o polinômio . Vamos ver se esse polinômio est�� em :
A igualdade é verdadeira, então o vetor zero está em . Portanto, não está vazio.

Passo 4

2. Verificando o fechamento sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em p(x) = a0 + a1x + a2x^2 com a2 = a0 + a1 :
q(x) = b0 + b1x + b2x^2 com b2 = b0 + b1
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x^2
Vamos somar a2 + b2 = (a0 + a1) + (b0 + b1) = (a0 + b0) + (a1 + b1)) e :
Agora, precisamos verificar se o coeficiente do na soma satisfaz a condição :
A igualdade é verdadeira, então a soma também pertence a . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando o fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em p(x) = a0 + a1x + a2x^2 com a2 = a0 + a1 e multiplicar por um número real c cdot p(x) = c a0 + c a1 x + c a2 x^2 :
c a2 = c a0 + c a1
c a2 = c (a0 + a1) = c a0 + c a1
Precisamos verificar se o coeficiente do satisfaz a condição:
Como , multiplicando ambos os lados por :
A igualdade é verdadeira, então também pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Sejam W1 e W2 subespaços de R^3, para os quais dim W1=1, dim W2=2 e W1 not subset W2. Mostre que R^3=W1 oplus W2.
Sejam B=e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) a base canônica de R^3 e T: R^3 R^3 a tranformação linear dada por T(e1)=(1,0,-1), T(e2)=(0,2,1) e T(e3)=(0,0,1). Encontre T(x, y, z) para (x, y, z) in R^3. Verifique se T é um isomorfismo. Se for, ache o isomorfismo inverso.
Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60 graus, determine o ângulo formado pelos vetores
(b) -u e v
Coloque V (verdadeira) ou F (falsa) para cada uma das seguintes afirmações:
(e) Se A é uma matriz quadrada, então A+A^T2 é simétrica e A-A^T2 é anti-simétrica;