Encontre uma base para V=[1-t, t-t^2, 1-t^2, 1-2 t+t^2] em P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o conjunto no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que chamamos de . Para isso, vamos precisar entender sobre espaços vetoriais, bases e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, queremos uma base para , que está dentro de .

Passo 3

Agora, vamos listar os polinômios que fazem parte de v1 = 1 - t, v2 = t - t^2, v3 = 1 - t^2, v4 = 1 - 2t + t^2 :
Nosso objetivo é ver quais desses polinômios são independentes linearmente e geram .

Passo 4

Para verificar a independência linear, vamos montar uma combinação:
a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + a4 v4 = 0
Substituindo os valores de a1(1 - t) + a2(t - t^2) + a3(1 - t^2) + a4(1 - 2t + t^2) = 0 :
(a1 + a3 + a4) + (-a1 + a2 - 2a4)t + (-a2 - a3 + a4)t^2 = 0
Vamos organizar os termos por potência de a1 + a3 + a4 = 0 -a1 + a2 - 2a4 = 0 - a2 - a3 + a4 = 0 :
Para que isso valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: -(-a3 - a4) + a2 - 2a4 = a3 + a4 + a2 - 2a4 = a2 + a3 - a4 = 0 Rightarrow a2 = a4 - a3
  2. Substituindo - (a4 - a3) - a3 + a4 = -a4 + a3 - a3 + a4 = 0 na segunda equação:
  1. Substituindo na terceira equação:
Isso significa que temos infinitas soluções, ou seja, os vetores não são todos independentes.

Passo 6

Como os vetores não são todos independentes, precisamos encontrar uma combinação mínima que seja independente. Vamos tentar eliminar um dos vetores.
Observando e , vemos que , ou seja, é combinação dos outros. Então, podemos eliminar .

Passo 7

Ficamos com os vetores v1 = 1 - t, v2 = t - t^2, v3 = 1 - t^2 :
a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 = 0
Vamos verificar se esses três são independentes.
Montamos a combinação:
a1(1 - t) + a2(t - t^2) + a3(1 - t^2) = 0
Substituindo:
(a1 + a3) + (-a1 + a2)t + (-a2 - a3)t^2 = 0
Organizando:
a1 + a3 = 0 - a1 + a2 = 0 - a2 - a3 = 0
Igualando os coeficientes a zero:
Resolvendo:
  1. Da segunda equação:
  2. Da primeira:
  3. Substituindo na terceira:
Isso mostra que a única solução é , ou seja, os vetores são independentes.

Resposta

Uma base para em é .

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