Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o conjunto no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que chamamos de . Para isso, vamos precisar entender sobre espaços vetoriais, bases e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, queremos uma base para , que está dentro de .
Passo 3
Agora, vamos listar os polinômios que fazem parte de :
Nosso objetivo é ver quais desses polinômios são independentes linearmente e geram.
Passo 4
Para verificar a independência linear, vamos montar uma combinação:
Substituindo os valores de :
Vamos organizar os termos por potência de :
Para que isso valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero: