Sejam A(4, 1,-3), B(m,3,5) e C(0,-3,1) vértices de um triângulo determine:
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa.
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices A(4, 1, −3), B(m, 3, 5) e C(0, −3, 1).
A parte a) pede para encontrar o valor de m que faz o triângulo ABC ser retângulo em A. Já a parte b) quer que a gente calcule a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço, como cálculo de distâncias entre pontos e propriedades de triângulos retângulos. Vamos por passo a passo para ficar bem tranquilo!
Passo 2
Vamos começar pela parte a). Queremos que o triângulo ABC seja retângulo em A. Isso significa que o ângulo em A precisa ser de 90 graus.
Um jeito de verificar isso é usando o produto escalar (ou produto interno) dos vetores que formam os lados a partir de A. Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 90 graus.
Então, vamos definir os vetores AB e AC:
- Vetor AB = B - A = (m - 4, 3 - 1, 5 - (-3)) = (m - 4, 2, 8)
- Vetor AC = C - A = (0 - 4, -3 - 1, 1 - (-3)) = (-4, -4, 4)
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar de AB e AC. A fórmula do produto escalar de dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é:
Então, para AB e AC:
Vamos simplificar isso:
Passo 4
Para que o triângulo seja retângulo em A, o produto escalar deve ser zero:
Vamos resolver essa equação para encontrar m:
Passo 5
Então, o valor de m que faz o triângulo ABC ser retângulo em A é m = 10.
Resposta
a) O valor de m é 10.