Sejam A(4, 1,-3), B(m,3,5) e C(0,-3,1) vértices de um triângulo determine:
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices A(4, 1, −3), B(m, 3, 5) e C(0, −3, 1).
A parte a) pede para encontrar o valor de m que faz o triângulo ABC ser retângulo em A. Já a parte b) quer que a gente calcule a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço, como cálculo de distâncias entre pontos e propriedades de triângulos retângulos. Vamos por passo a passo para ficar bem tranquilo!

Passo 2

Vamos começar pela parte a). Queremos que o triângulo ABC seja retângulo em A. Isso significa que o ângulo em A precisa ser de 90 graus.
Um jeito de verificar isso é usando o produto escalar (ou produto interno) dos vetores que formam os lados a partir de A. Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 90 graus.
Então, vamos definir os vetores AB e AC:
  • Vetor AB = B - A = (m - 4, 3 - 1, 5 - (-3)) = (m - 4, 2, 8)
  • Vetor AC = C - A = (0 - 4, -3 - 1, 1 - (-3)) = (-4, -4, 4)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar de AB e AC. A fórmula do produto escalar de dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Então, para AB e AC:
AB cdot AC = (m - 4)(-4) + (2)(-4) + (8)(4)
Vamos simplificar isso:
AB cdot AC = -4(m - 4) - 8 + 32
= -4m + 16 - 8 + 32
= -4m + 40

Passo 4

Para que o triângulo seja retângulo em A, o produto escalar deve ser zero:
-4m + 40 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar m:
-4m + 40 = 0
-4m = -40
m = -40-4 = 10

Passo 5

Então, o valor de m que faz o triângulo ABC ser retângulo em A é m = 10.

Resposta

a) O valor de m é 10.

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