Sejam x=x(u, v) e y=y(u, v) definidas implicitamente pelo sistema:
l x^2+u y^2=v x+y^2=u
Expresse partial ypartial u em termos de x, y e u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações que define l x^2 + u y^2 = v x + y^2 = u e como funções de e . O sistema é:
A matéria aqui envolve derivadas parciais e derivadas implícitas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e resolver um sistema de equações para encontrar a derivada parcial em termos de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados das equações do sistema em relação a x^2 + u y^2 = v , mantendo 2x partial xpartial u + y^2 + u cdot 2y partial ypartial u = 0 constante (já que queremos derivar em relação a x + y^2 = u ).
Começamos com a primeira equação:
partial xpartial u + 2y partial ypartial u = 1
Derivando em relação a :
Agora, a segunda equação:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: 2x partial xpartial u + y^2 + 2u y partial ypartial u = 0 partial xpartial u + 2y partial ypartial u = 1 e A = 2x, B = 2u y, C = y^2, D = 1, E = 2y . Vamos resolver esse sistema para encontrar A partial xpartial u + B partial ypartial u = -C partial xpartial u + E partial ypartial u = D .
Reescrevemos o sistema:
A partial xpartial u + A E partial ypartial u = A D
Vamos chamar:
(A E - B) partial ypartial u = A D + C
Então, o sistema fica:
partial ypartial u = A D + CA E - B
Podemos resolver esse sistema usando substituição ou métodos de álgebra linear. Vamos multiplicar a segunda equação por partial ypartial u = 2x cdot 1 + y^22x cdot 2y - 2u y = 2x + y^24xy - 2u y para facilitar:
partial ypartial u = 2x + y^22(2x y - u y) = 2x + y^22y(2x - u)
Subtraindo a primeira equação dessa nova equação:
partial ypartial u = 2x + y^22y(2x - u)
Isolando :
Substituindo os valores de , , , e :
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
Então, simplificando mais:

Resposta

A derivada parcial partial ypartial u = 2x + y^22y(2x - u) em termos de , e é:

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