Sejam
e
definidas implicitamente pelo sistema:
Expresse
em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações que define
e
como funções de
e
. O sistema é:
A matéria aqui envolve derivadas parciais e derivadas implícitas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e resolver um sistema de equações para encontrar a derivada parcial
em termos de
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados das equações do sistema em relação a
, mantendo
constante (já que queremos derivar em relação a
).
Começamos com a primeira equação:
Derivando em relação a
:
Agora, a segunda equação:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
e
. Vamos resolver esse sistema para encontrar
.
Reescrevemos o sistema:
Vamos chamar:
Então, o sistema fica:
Podemos resolver esse sistema usando substituição ou métodos de álgebra linear. Vamos multiplicar a segunda equação por
para facilitar:
Subtraindo a primeira equação dessa nova equação:
Isolando
:
Substituindo os valores de
,
,
,
e
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
Então, simplificando mais:
Resposta
A derivada parcial
em termos de
,
e
é:
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Os vetores da forma (
sempre estão em
, para quaisquer valores de
e
números reais.