Os vetores da forma ( sempre estão em , para quaisquer valores de e números reais.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos dizendo. Temos que todos os vetores da forma pertencem ao espaço vetorial , onde , e são números reais. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços e combinações lineares, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais vetores podem gerar o espaço . Observando a forma , percebemos que cada componente do vetor é multiplicada por uma constante diferente: 15, 75 e 15.
Passo 3
Podemos reescrever o vetor como uma combinação linear de vetores básicos. Isso fica mais claro quando fatoramos as constantes:
Passo 4
Agora, identificamos os vetores básicos que geram :
Esses vetores são os “blocos de construção” do espaço .
Passo 5
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para . Para isso, montamos uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta no sistema:
A solução desse sistema é , e , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, o espaço vetorial W é gerado pelos vetores , e . Em outras palavras: