Os vetores da forma ( 15x + 75y + 15z sempre estão em W, para quaisquer valores de x, y e z números reais.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos dizendo. Temos que todos os vetores da forma pertencem ao espaço vetorial W, onde x, y e z são números reais. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços e combinações lineares, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais vetores podem gerar o espaço W. Observando a forma , percebemos que cada componente do vetor é multiplicada por uma constante diferente: 15, 75 e 15.

Passo 3

Podemos reescrever o vetor como uma combinação linear de vetores básicos. Isso fica mais claro quando fatoramos as constantes:

Passo 4

Agora, identificamos os vetores básicos que geram W:
Esses vetores são os “blocos de construção” do espaço W.

Passo 5

Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para W. Para isso, montamos uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta no sistema:
A solução desse sistema é , e , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, o espaço vetorial W é gerado pelos vetores , e . Em outras palavras:

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