Use o método de variação de parâmetros para resolver o sistema:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de variação de parâmetros. O que isso significa? Basicamente, temos um sistema onde a taxa de variação da nossa variável
depende tanto de
quanto de uma função que varia com o tempo
. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da parte homogênea (sem o termo que depende de
) e depois uma solução particular que leve em conta o termo que varia com
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, resolver a equação sem o termo que depende de
:
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
O primeiro passo é encontrar os autovalores
resolvendo o determinante
:
Resolvendo
, temos que os autovalores são
e
.
Como os autovalores são complexos, a solução geral da parte homogênea será:
Onde
é a parte real e
a parte imaginária dos autovalores. No nosso caso,
e
, então:
Agora, precisamos encontrar o autovetor
correspondente a
:
Resolvendo, temos
. Podemos escolher
, então
. Portanto, o autovetor é:
Assim, a solução homogênea fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para o sistema completo, utilizando o m��todo de variação de parâmetros. Esse método basicamente ajusta os coeficientes
e
da solução homogênea para acomodar o termo não homogêneo presente no sistema original.
O sistema é:
A solução particular será da forma:
Onde
e
são funções que vamos determinar. Para isso, usamos as seguintes equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos que
. Substituindo na segunda equação, e resolvendo, obtemos as expressões para
e
. Após integrar essas expressões, encontramos as funções
e
, e assim a solução particular
.
Passo 4
Com a solução homogênea
e a solução particular
encontradas, a solução geral do sistema é a soma das duas:
Isso significa que qualquer solução do sistema original pode ser expressa combinando essas duas partes.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais, e a solução particular é obtida pelo método de variação de parâmetros conforme descrito nos passos anteriores.
Exercícios relacionados
Sejam
e
definidas implicitamente pelo sistema:
Expresse
em termos de
e
.
Entre os objetivos dos fluidos de perfuração de poços de petróleo, incluem-se o de transmitir energia hidráulica às ferramentas de perfuração, o de vedar formações litológicas permeáveis e o de exercer pressão hidrostática para equilibrar o poço.
Os vetores da forma (
sempre estão em
, para quaisquer valores de
e
números reais.
Use o método dos operadores para encontrar a solução do sistema: