Use o método de variação de parâmetros para resolver o sistema:
X' = (1 -2; 1 -1) X + (tg t; 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de variação de parâmetros. O que isso significa? Basicamente, temos um sistema onde a taxa de variação da nossa variável depende tanto de quanto de uma função que varia com o tempo . Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da parte homogênea (sem o termo que depende de ) e depois uma solução particular que leve em conta o termo que varia com .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, resolver a equação sem o termo que depende de :
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
O primeiro passo é encontrar os autovalores resolvendo o determinante :
Resolvendo , temos que os autovalores são e .
Como os autovalores são complexos, a solução geral da parte homogênea será:
Onde é a parte real e a parte imaginária dos autovalores. No nosso caso, e , então:
Agora, precisamos encontrar o autovetor correspondente a :
Resolvendo, temos . Podemos escolher , então . Portanto, o autovetor é:
Assim, a solução homogênea fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo, utilizando o m��todo de variação de parâmetros. Esse método basicamente ajusta os coeficientes e da solução homogênea para acomodar o termo não homogêneo presente no sistema original.
O sistema é:
A solução particular será da forma:
Onde e são funções que vamos determinar. Para isso, usamos as seguintes equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos que . Substituindo na segunda equação, e resolvendo, obtemos as expressões para e . Após integrar essas expressões, encontramos as funções e , e assim a solução particular .

Passo 4

Com a solução homogênea e a solução particular encontradas, a solução geral do sistema é a soma das duas:
Isso significa que qualquer solução do sistema original pode ser expressa combinando essas duas partes.

Resposta

A solução geral do sistema é:
çã
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais, e a solução particular é obtida pelo método de variação de parâmetros conforme descrito nos passos anteriores.

Exercícios relacionados

Sejam x=x(u, v) e y=y(u, v) definidas implicitamente pelo sistema:
l x^2+u y^2=v x+y^2=u
Expresse partial ypartial u em termos de x, y e u.
Entre os objetivos dos fluidos de perfuração de poços de petróleo, incluem-se o de transmitir energia hidráulica às ferramentas de perfuração, o de vedar formações litológicas permeáveis e o de exercer pressão hidrostática para equilibrar o poço.
Os vetores da forma ( 15x + 75y + 15z sempre estão em W, para quaisquer valores de x, y e z números reais.
Use o método dos operadores para encontrar a solução do sistema:
{ 2D x + (D - 1) y = t; D x + D y = t^2 }