Sejam A e B eventos com P(A)=3 / 8, P(B)=3 / 10 e P(A cup B)=9 / 20. Encontre P(A mid B) e P(B mid A).

Passo 1

Então, a gente tem um problema de probabilidade aqui! Temos dois eventos, A e B, com as seguintes probabilidades:
O que a gente precisa descobrir são as probabilidades condicionais e . Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas básicas de probabilidade e entender como elas funcionam juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B) (A ou B acontecendo) pode ser expressa pela fórmula:
Isso nos ajuda a encontrar , que é a probabilidade de ambos os eventos A e B acontecerem ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos rearranjar a fórmula para resolver P(A cap B) = P(A) + P(B) - P(A cup B) :
P(A cap B) = 38 + 310 - 920
Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Vamos fazer as contas:
Primeiro, igualar os denominadores:
38 = 1540, 310 = 1240, 920 = 1840
Agora, substituindo:
P(A cap B) = 1540 + 1240 - 1840 = 15 + 12 - 1840 = 940
Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar P(A mid B) = P(A cap B)P(B) . A probabilidade condicional P(A mid B) = 940310 = 940 times 103 = 9 times 1040 times 3 = 90120 = 34 significa a probabilidade de A acontecer dado que B já aconteceu. A fórmula é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos encontrar P(B mid A) = P(A cap B)P(A) , que é a probabilidade de B acontecer dado que A já aconteceu. A fórmula é semelhante:
P(B mid A) = 94038 = 940 times 83 = 72120 = 35
Substituindo os valores:

Resposta

P(A mid B) = 34 e P(B mid A) = 35

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