Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que:
P(A)=0,4 , enquanto P(A cup B)=0,7 Seja P(B)=x
b) Para que valor de x os eventos A e B serão independentes?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois eventos, A e B, com as seguintes probabilidades:
P(A) = 0,4 e P(A cup B) = 0,7
Queremos descobrir para qual valor de , onde , os eventos A e B serão independentes. Para isso, vamos precisar entender o conceito de independência entre eventos.

Passo 2

Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Matemáticamente, isso significa que:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Então, nossa primeira meta é encontrar para poder aplicar essa fórmula.

Passo 3

Sabemos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada pela fórmula:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Temos , e . Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
0,7 = 0,4 + x - P(A cap B)
Agora, vamos isolar P(A cap B) = 0,4 + x - 0,7 = x - 0,3 :

Passo 5

Agora, usando a condição de independência:
P(A cap B) = P(A) times P(B) implies x - 0,3 = 0,4 times x
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 6

Resolvendo a equação:
x - 0,3 = 0,4x
Subtraindo x - 0,4x - 0,3 = 0 de ambos os lados:
0,6x - 0,3 = 0
0,6x = 0,3
Adicionando x = 0,30,6 = 0,5 a ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

Os eventos A e B serão independentes quando .

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