Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que:
b) Para que valor de x os eventos A e B serão independentes?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois eventos, A e B, com as seguintes probabilidades:
Queremos descobrir para qual valor de
, onde
, os eventos A e B serão independentes. Para isso, vamos precisar entender o conceito de independência entre eventos.
Passo 2
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Matemáticamente, isso significa que:
Então, nossa primeira meta é encontrar
para poder aplicar essa fórmula.
Passo 3
Sabemos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada pela fórmula:
Temos
,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Agora, usando a condição de independência:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 6
Resolvendo a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Adicionando
a ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Os eventos A e B serão independentes quando
.