Sejam f(x, y, z) = z - e^(x) sen y e P = (ln(3), 3pi/2, -3). Determine: grad f(P);

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A função que temos é e o ponto dado é . A tarefa é encontrar o gradiente de nesse ponto, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso significa que tratamos e como constantes e derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos e como constantes:

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a . Nesta parte, e são constantes:

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar o gradiente de :

Passo 6

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto na expressão do gradiente:
  1. Para :
  2. Para :
  3. não afeta o gradiente diretamente, já que a derivada em relação a é constante.

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão do gradiente:

Resposta

O gradiente de no ponto é .

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